在三角形ABC中，角CAE=角B，E是CD的中点，AD平分角BAE 证明BD=AC

向左转|向右转

在AB上作一点F，使AF=AE，则由AD是角BAE的平分线知三角形ADE全等于三角形ADF，得DF=DE，角DEA=角DFA，由E是CD的中点知CE=DE=DF，角DFB=角AEC(相等角的补角也相等)，再由角CAE=角B可得：三角形CAE全等于三角形DBF，即：BD=AC

2.

问：如图，三角形ABC中，角平分线AD、BE、CF相交于点H，过点H作HG垂直于AC垂足为G，那么三角形AHE等于三角形CHG吗？为什么？

∵∠AHE=∠ABH+∠BAH,(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）；

∠ABH=1/2∠ABC,

∠BAH=1/2∠BAC（角平分线意义）,

∴∠AHE=1/2(∠BAC+∠ABC)（等量代换）.

∵∠BAC+∠ABC=180°-∠C（三角形内角和等于180°）

∴∠AHE=(180°-∠ACB)/2=90°-1/2∠ACB,

在Rt△HGC中，

∠GHC=90°-∠HCG=90°-1／2∠ACB,

∴∠AHE=∠CHG.

向左转|向右转

3. 已知在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，AE⊥BD于E， ∠ADB＝∠CDF,延长AE交BC于F，求证:D为AC的中点

作D关于BC的对称点G连接FG、CG

由于角ADB=角BAF 所以角FDC=角BAF

而角B=角C=45°

所以角AFB=180°-角B-角BAF=180°-角C-角CDF=角DFG

所以角AFD+角DFG=角AFD+角DFC+角AFB=180°

所以A、F、G共线

又因为角CAG=角ABD

角ACG=2*45°=90°=角BAD

所以三角形BAD全等于三角形ACG

所以CG=AD

又CG=DC

所以AD=DC

4. 已知三角形ABC中，AD为BC边的中线，E为AC上一点，BE与AD交于F，若AE=EF，求证：AC=BF

延长AD到M使DM＝AD，连BM，CM

∵AD=DM,BD=CD

∴ABMC为平行四边形（对角线互相平分）

∴AC‖BM,AC=BM（等于那个最后再用到）

∴∠DAC=∠DMB(∠DAC即∠EAF,∠DMB即∠BMF下面用到)（内错角相等）……①

在三角形AEF中，

∵AE＝EF

∴∠EAF=∠EFA （等腰三角形）……②

又∵∠EFA=∠BFM（对顶角相等）……③

由①②③，得∠EAF=∠EFA=∠BFM=∠BMF

在三角形BFM中，

∵∠BFM=∠BMF

∴三角形BFM为等腰三角形，边BF＝BM

由前面证得的AC=BM，得AC＝BF

5. 已知三角形ABC，AD为BC边上的中线，E为AC上一点，AD、BE交于点F，且AE=EF，请问BF=AC吗？

延长AD并过B点作AC的平行线，相交于G点

则AC//BG,AE=EF,

可得BF=BG

在三角形BDG和三角形CDA中

BD=CD,<ADC=<GDB,<DBG=<ACD，

两三角形全等

所以AC=BG=BF

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文章来源：天狐定制

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