普通年金终值和现值公式的推导

推导出普通年金终值、现值的一般计算公式 普通年金终值指一定时期内，每期期末等额收入或支出的本利和，也就是将每一期的金额，按复利换算到最后一期期末的终值，然后加总，就是该年金终值.例如：每年存款1元，年利率为10%，经过5年，逐年的终值和年金终值，可计算如下：

1元1年的终值=1.000元

1元2年的终值=(1+10%)1=1.100(元)

1元3年的终值=(1+10%)2=1.210(元)

1元4年的终值=(1+10%)3=1.331(元)

1元5年的终值=(1+10%)4=1.464(元)

1元年金5年的终值=6.105(元)

如果年金的期数很多，用上述方法计算终值显然相当繁琐.由于每年支付额相等，折算终值的系数又是有规律的，所以，可找出简便的计算方法.

设每年的支付金额为A，利率为i，期数为n，则按复利计算的年金终值S为： S=A+A×(1+i)+…+A×(1+i)n-1，

(1) 等式两边同乘以(1+i)： S(1+i)=A(1+i)+A(1+i)2+…+A(1+l)n，（n等均为次方）

（2) 上式两边相减可得：

S(1+i)-S=A(1+l)n-A,

S=A[（1+i）n-1]/i

式中[（1+i）n-1]/i的为普通年金、利率为i，经过n期的年金终值记作(S/A，i,n),可查普通年金终值系数表.

年金现值通常为每年投资收益的现值总和，它是一定时间内每期期末收付款项的复利现值之和.每年取得收益1元，年利率为10%，为期5年，上例逐年的现值和年金现值，可计算如下：

1年1元的现值==0.909(元)

2年1元的现值==0.826(元)

3年1元的现值==0.751(元)

4年1元的现值==0.683(元)

5年1元的现值==0.621(元)

1元年金5年的现值=3.790(元)

计算普通年金现值的一般公式为： P=A×(1+i)-1+A×(1+i)-2…+A×(1+i)-n，

(1) 等式两边同乘(1+i) P(1+i)=A+A(1+i)－1+…+A(1+i)－(n－1)，

(2) (2)式减(1)式 P(1+i)-P=A-A(1+i)－n，

剩下的和上面一样处理就可以了。

普通年金1元、利率为i，经过n期的年金现值，记作(P/A，i,n)，可查年金现值系数表. 另外，预付年金、递延年金的终值、现值以及永续年金现值的计算公式都可比照上述推导方法，得出其一般计算公式. 年金（annuity），就是一系列有规律的、持续一段固定时期的现金收付活动，是一项最常见的金融工具。 以下介绍的推导年金公式的方法，借用了“金边债券”（也叫“永续年金”，perpetuity）”的公式。我们知道，永续年金是一系列没有止境的等额现金流，若每年支付额为C，相关利率为r，则永续年金的现值为C/r。

接下来，我们便利用这个结果来推导年金现值公式。

1. 年金现值公式的推导（年金额为C，利率为r，期限为t，期末支付）。为求出年金的现值，必须求下式的值：

2. C/(1+r) + C/(1+r)^2 + C/(1+r)^3 + ... + C/(1+r)^t

我们可以把年金的现值看成两个永续年金现值的相减（见附图）。金边债券1是正常的从第1期开始支付的永续年金，其现值公式为C/r。 而金边债券2为从t+1期开始支付的永续年金，该年金在第t期的现值为C/r，而在当前（第0期）的现值为其第t值的贴现，即(C/r)/(1+r)^t。 两个公式相减，就得到年金现值公式：

C/r - (C/r)/(1+r)^t =C[1/r - (1/r)/(1+r)^t] -------（1）

其中大括号内即为年金现值系数（annuity factor）—— A(r,t)。所以若有年金现值系数表，求年金现值时也可用C*A(r,t)。

当然，前述公式也可写成： (C/r)[1-1/(1+r)^t] ------（2）

不过，公式（1）把年金和年金现值系数分开，比较方便我们根据其推导过程来进行记忆。

2. 年金终值系数的推导（年金额为C，利率为r，期限为t，期末支付）。直接从现值公式就可推得，也就是把现值乘上(1+r)^t，得到现值在t期后的终值：

C[1/r - (1/r)/(1+r)^t](1+r)^t =C[(1+r)^t/r - 1/r] --------- （3）

推导完毕（上述所有公式中，^均表示乘方，^t表示t次方）。 此外，年金公式推导还可采用等比数列的公式

载自《浙江会计人门户网》

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文章来源：天狐定制

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