连续偏导数在定义域范围内是连续的，也即没有间断点。函数f(x,y)处处可微，但它的偏导数却不是连续函数。具体来说，偏导数在任意点上存在，但不一定在点周围连续。举例说明，考虑函数f(x,y)的表达式：当xy≠0时，(x^2)*sin(1/x)+(y^2)*sin(1/y)；当x≠0，y=0时，(x^2)*sin(1/x)；当x=0，y≠0时，(y^2)*sin(1/y)。这个函数在原点处可微，但其两个偏导函数在原点处均不连续。

通过分析，我们可以发现，即使函数f(x,y)在某点可微，其偏导数在该点上也可能不连续。这表明可微性和偏导数的连续性是不同的性质，不可混淆。以函数f(x,y)为例，尽管其在原点处可微，但由于其偏导数在原点处不连续，这凸显了偏导连续与导数连续之间存在的重要区别。

在实际应用中，理解连续偏导数与导数连续的区别对于分析多变量函数的行为具有重要意义。这一区别有助于我们在数学分析、优化问题、物理模型构建等多个领域做出更准确的判断和决策。

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文章来源：天狐定制

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