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三种方法证明余弦定理

作者：职业培训 时间： 2025-01-16 04:52:18 阅读：429

在△ABC中，AB＝c、BC＝a、CA＝b

则c^2＝a^2＋b^2－2ab*cosC

　a^2＝b^2＋c^2－2bc*cosA

　b^2＝a^2＋c^2－2ac*cosB

下面在锐角△中证明第一个等式，在钝角△中证明以此类推。

过A作AD⊥BC于D　，则BD＋CD＝a

由勾股定理得：

c^2＝(AD)^2＋(BD)^2　，(AD)^2＝b^2－(CD)^2

所以c^2＝(AD)^2－(CD)^2＋b^2

　　　＝(a－CD)^2－(CD)^2＋b^2

　　　＝a^2－2a*CD ＋(CD)^2－(CD)^2＋b^2

　　　＝a^2＋b^2－2a*CD

因为cosC＝CD/b

所以CD＝b*cosC

所以c^2＝a^2＋b^2－2ab*cosC

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文章来源：天狐定制

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