无限循环小数化成分数的方法如下：

1、等比数列法

无限循环小数，先找其循环节（即循环的那几位数字），然后将其展开为一等比数列、求出前n项和、取极限、化简。

例如：0.333333……，循环节为3，则0.33333.....=3*10^(-1)+3*10^(-2)+……+3*10^(-n)+……。前n项和为：0.3[1-(0.1)^(n)]/(1-0.1)，当n趋向无穷时（0.1）^（n）=0。因此0.3333……=0.3/0.9=1/3

注意：m^n的意义为m的n次方。

再如：0.999999.......，循环节为9，则0.9999.....=9*10^(-1)+9*10^(-2)+……+9*10^(-n)+……。前n项和为：{0.9*[1-（0.1）^n]}/(1-0.1)，当n趋向无穷时（0.1）^n=0。因此：0.99999.....=0.9/0.9=1

2、解方程法

无限循环小数化分数可分为两类情况，纯循环小数，混循环小数。

纯小数纯循环小数

例：0.1111……1的循环，我们可以设此小数为x，可得：

10x-x=1.1111……-0.1111……，9x=1，X=1/9

例：0.999999.......=1

设x=0.9999999......，10x-x=9.999999.....-0.999999.....，9x=9，x=1

例：将无限循环小数0.123(··)化成分数：

混循环小数

例：0.12111……1的循环，同样，我们设此小数为x，可得：

1000x-100x=121.111……-12.111……，900x=109，X=109/900

例：将无限循环小数0.123(·)化成分数：

差异

纯循环小数和混循环小数在化分数时公式存在差异，但理论上X·10∧（a+c）-x·10∧a适用于全部循环小数。因为无限不循环小数（无理数）无公度比，因此无限不循环小数（无理数）不能化成分数形式、即不能表达为n/m的形式。

3、套公式法

纯循环

用9做分母，有多少个循环数就几个9，比如0.3，3的循环就是9分之3，0.654，654的循环就是999分之654，0.9，9的循环就是9分之9（1），以此类推。

混循环

先来看几个例子

例：把混循环小数0.228˙化为分数：

解：0.228=[（228/1000）+8/9000）]=228/（900+100）+8/9000=[（228/900）-（228/9000）]+（8/9000）=（228/900）+[（8/9000）-（228/9000）]=（228/900）-（22/900）=（228-22）/900=206/900=103/450；

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文章来源：天狐定制

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