有限数集的平均值不等式是数学分析中的一个重要概念。对于有限数集{ [公式] }，存在以下平均值不等式：

[公式]

其中，[公式] 表示算数平均值，[公式] 为几何平均值，[公式] 是调和平均值。

此不等式在数学分析中至关重要，掌握其证明有助于理解数学分析技巧。接下来提供一种证明方法。

首先，证明不等式 [公式] 成立。运用引理，即均值不等式：对于所有[公式]，有 [公式]。

证明如下：

对 [公式]，显然有 [公式]，故将等式两边同时加上 [公式]，得到 [公式]。稍作变形，使用完全平方公式，得到 [公式]。注意到二次函数 [公式] 在 [公式] 上单调递增，因此，对上式两边同时开平方根，得到 [公式]。

接下来证明定理2：非负有限数集 {[公式] }的算数平均值不小于几何平均值。

第一步，证明当 [公式] 时不等式成立。使用第一类数学归纳法，假设 [公式] 时不等式成立，需证 [公式] 时也成立。

通过拆分，可得 [公式]。显然，这适用于归纳假设和均值不等式。

第二步，证明对所有 [公式]，不等式均成立。当 [公式] 时，将 [公式] 添加 [公式] 个数至 [公式]。令 [公式]，利用 [公式] 时的结论，可得 [公式]。

调整不等式，得到 [公式]。

最后，证明定理2：非负有限数集的几何平均值不小于调和平均值。

对集合 {[公式] }应用定理1，得到 [公式]。由于反比例函数 [公式] 在 [公式] 上严格单调递减，取倒数后，不等式变为 [公式]。

本文地址： http://www.goggeous.com/20241222/1/822887

文章来源：天狐定制

版权声明：除非特别标注，否则均为本站原创文章，转载时请以链接形式注明文章出处。