矩阵等价的条件是两个矩阵必须是同型的，并且可以通过两个可逆矩阵的乘积变换得到。具体而言，矩阵A和B等价意味着存在s阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，满足B=PAQ。这一条件适用于任何类型的矩阵，不仅限于方阵。

矩阵A与B合同，则必须同时满足两个条件：一是A与B是同型矩阵且均为方阵；二是存在一个n阶矩阵P，使得P的转置乘以A再乘以P等于B。合同条件常用于二次型的讨论中，它描述了二次型通过一系列可逆变换得到的新形式。

矩阵A与B相似则需同时满足两个条件：一是A与B是同型矩阵且均为方阵；二是存在一个n阶可逆矩阵P，使得P的逆乘以A再乘以P等于B。相似矩阵实际上表示的是同一个线性变换在不同基底下的坐标表示。相似矩阵具有相同的特征值、秩和行列式。

判断矩阵是否相似通常通过看它们能否相似于同一个对角矩阵来完成。如果两个矩阵相似，它们对应的函数也会相似。矩阵的合同概念通常应用于对称矩阵。对称矩阵合同的重要条件是正负惯性指数相同，这意味着它们的正特征值和负特征值的个数相同。

矩阵相似与否与合同与否之间没有直接关系，但在考试中，特别是在涉及对称矩阵的情况下，矩阵相似通常意味着它们合同。相似要求特征值完全相同，而合同则只要求特征值的正负性相同。

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