反常积分的定义与分类

反常积分分为两类：一类是无穷区间上的反常积分，包括区间[a,+∞)和(-∞,b]上的积分，以及区间(-∞,+∞)上的积分。无穷区间上的反常积分的收敛性判定依赖于积分在有限区间内的值是否存在，若值存在则积分收敛，否则发散。对于区间(-∞,+∞)上的反常积分，则需分别考察两个无穷区间上积分的收敛性。

另一类是无界函数在有限区间上的反常积分，即区间[a,b]上包含瑕点c的积分。此类积分的收敛性判定需要考虑瑕点处函数值的性质和瑕区间上的积分值。

审敛法比较

比较审敛法提供了判断反常积分收敛性的有效工具。其基本原理是：若0≤f(x)≤g(x)，则积分[公式]的收敛性与积分[公式]相同。若积分[公式]发散，则积分[公式]必然发散。在极限形式中，若[公式]＞0，g(x)＞0，且[公式]~g(x)（当x→∞时），则[公式]与[公式]的敛散性相同。

极限审敛法

极限审敛法提供了判断瑕点积分收敛性的具体方法。对于瑕点积分[公式]，当存在常数M＞0，q＜1，使得[公式]时，积分收敛。当存在常数N＞0，使得[公式]时，积分发散。通过分析积分在瑕点附近的性质，可以判断积分的收敛性。

万能公式

万能公式为反常积分的收敛性判断提供了通用方法。当积分区间为无穷区间或存在瑕点时，通过将积分化为标准型[公式]，可以判断积分的收敛性。标准型下的收敛性判断依赖于积分指数的大小关系。对于无穷区间，积分收敛的条件为α＞1或α=1且β＞1；对于瑕点，积分收敛的条件为α＜1或α=1且β＞1。

万能公式的应用

通过灵活应用万能公式，可以解决各类反常积分的收敛性判断问题。以2022年考研数学二真题第5题为例，通过分析瑕点x=0和x=1的性质，利用万能公式判断积分收敛性，最终得到P的取值范围为(-1,1)。

Γ函数的定义与常用公式

Γ函数定义为[公式]，其中α＞0。Γ函数的常用公式包括[公式]、[公式]、[公式]等。通过Γ函数的性质，可以得到一系列关于幂指数和变量的收敛性结论。例如，当λ＞0时，[公式]收敛；当λ≤0时，[公式]发散。当p＞1时，[公式]收敛；当p≤1时，[公式]发散。当p＞1时，[公式]收敛；当p≤1时，[公式]发散（a＞1）。若反常积分[公式]收敛，则反常积分[公式]必然收敛。

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文章来源：天狐定制

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