离散型随机变量与连续型随机变量是概率论与统计学中的两种基本随机变量类型。离散型随机变量指所有可能取值可以一一列举出的随机变量，例如掷骰子试验中，点数只能是1至6。而连续型随机变量则取值为某区间中的任意一点，如某人在站台等车的时间，其取值可以是区间内的任意实数。连续型随机变量的概率分布通常由概率密度函数表示，而离散型随机变量则通过概率分布函数描述。

离散型随机变量的概率分布包含了数学期望（均值）、方差和标准差的概念。数学期望是每次可能结果的概率乘以其结果的总和，计算公式为E(X)=∑xP(x)；方差描述随机变量的离散程度，即该变量离其期望值的距离，计算公式为Var(X)=E[(X-E(X))^2]；标准差为方差的算术平方根。伯努利分布描述了只有两种可能结果的单次随机试验，如抛一次硬币，其成功概率为p，失败概率为1-p。二项分布则是n次伯努利试验成功次数的离散概率分布，期望和方差分别为np和np(1-p)。

几何分布描述了在n次伯努利试验中，第k次试验才得到第一次成功的概率分布。泊松分布则描述单位时间/面积内随机事件发生的次数，如某服务设施一定时间内到达的人数，或一个月内机器损坏的次数。超几何分布与二项分布类似，但考虑了无放回的抽取。

连续型随机变量的概率分布通常由概率密度函数表示。正态分布是一种常见的连续型分布，其概率密度函数为φ(x)=1/√(2πσ^2)e^(-((x-μ)^2/(2σ^2)))。正态分布的期望和方差分别为μ和σ^2，标准正态分布的期望和方差均为0和1。正态分布适用于描述学生考试成绩、身高、体重等许多自然现象。均匀分布则是所有可能出现值的出现概率都相同的连续型分布，其概率密度函数为f(x)=1/(b-a)。指数分布则常用于表示随机事件发生的时间间隔，如旅客进机场的时间间隔、电子产品的寿命分布等。

大数定理和中心极限定理是概率论中的两个重要定理。大数定理指出，随着样本量的增加，样本的平均数将接近于总体的平均数，因此常用样本平均数来估计总体平均数。中心极限定理则指出，当样本量足够大时，样本均值的分布将接近于正态分布，无论原总体的分布情况如何。

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文章来源：天狐定制

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