高数中的最值定理并非一蹴而就的，它基于闭区间上连续函数的特性，需要结合实数完备性定理和确界原理来证明。下面，我们逐步揭示这个定理的证明过程。

在深入理解实数的完备性六大基本定理后，我们得以探讨最值定理，它阐述的是：若函数f在闭区间[a, b]上是连续的，那么必定存在最大值和最小值。这个定理与有界性定理密切相关，证明的关键在于利用有界性定理和确界原理。

首先，由于连续函数在[a, b]上是有界的，根据确界原理，f的值域f([a, b])存在上确界M。如果假设f(x)小于M，我们可以构造新的函数g(x)=1/(f(x)-M)，它在[a, b]上连续且有上界。由于连续函数的复合函数在封闭区间上仍然是有界的，且g是f的增函数，这将导致矛盾，因此f(x)必定存在一个等于M的最大值。

同样地，我们利用下确界原理来证明最小值m的存在。若对所有x∈[a, b]有f(x)大于m，构造h(x)=1/(f(x)-m)，其上界H将导致f(x)大于m+1/H，这与m是f([a, b])的下确界相悖。因此，存在η∈[a, b]，使得f(η)=m，即f在[a, b]上有最小值m。

总结来说，最值定理告诉我们，连续函数在闭区间上的最大值就是其上确界，最小值则是下确界。理解了这个定理，我们就能更好地把握连续函数的性质。现在，你理解最值定理的证明了吗？

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文章来源：天狐定制

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