微分几何正如字面一样是从微积分来研究几何，目前前沿领域与物理问题关系较大。大体上说是研究流形上的张量场，微分算子，度规等进而研究流形的性质的几何，但是由于各种方面的交叉，与拓扑，代数几何，复几何等都有交叉，对任何研究几何的人，微分几何都是重要的一部分。对物理来说，广义相对论最先建立了微分几何与物理的联系，而dirac场和Yang-Mills的耦合相当于一个扭曲自旋流形，量子场论的反常以及各种性质来自于流形的拓扑障碍，以及拓扑性质，π介子能衰变正来自于此。随后发现物理理论对于研究微分几何，比如证明本来涉及K理论，上同调理论代数几何以及微分几何等集大成的AS指标定理有很大帮助，出现了拓扑量子场论。

泛函分析最初来自于上世纪三十年代之后对变分法，积分方程，CW复形等流形的拓扑障碍和性质分析（比如Morse理论）、量子力学的数学严谨化、算子以及路径积分理论的研究，相当于无穷维数的空间的微积分以及几何学，也是相当有应用空间的技术。

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