1.极坐标下的二重积分

上一讲我们学习了直角坐标系下的二重积分计算。在处理涉及圆、椭圆等形状的积分区域时，采用极坐标系下的划分方法可能更为高效。这就是极坐标系下的二重积分。

下面是极坐标系下积分区域的划分方法：

比较直角坐标系和极坐标系下积分区域的表示：

极坐标系下的dA表示如下：

在极坐标系下，我们通常处理呈辐射状的积分区域，如下图所示：

举例：（利用二重积分求面积）

2.二重积分的应用

二重积分不仅用于求体积和面积，在物理学中还有其他众多应用。

2.1薄片质量

如果已知区域R上圆盘每个点的密度，可以计算出薄片的总体质量。

2.2函数的平均值

求函数在一个区域R上的平均值。我们知道，通过有限个值的平均计算方法如下：

对于无限个连续值，我们需要借助积分来进行计算：

可以理解为分子是体积，分母是底面积，所得的商即为平均高度，即函数的平均值。

2.3 物体重心

求重心与函数平均值不同，它是一种加权平均。

2.4 惯性矩

质量表征物体平动的难易程度，而惯性矩表征物体转动的难易程度。关于x轴的惯性矩计算公式如下：

举例：

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文章来源：天狐定制

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