正交化

正交化是指将线性无关向量系转化为正交系的过程。设{xn}是内积空间H中有限个或可列个线性无关的向量，则必定有H中的规范正交系{en}使得对每个正整数n（当{xn}只含有m个向量，要求n≤m），xn是e1，e2，…，en的线性组合。

由于把一个正交向量组中每个向量经过单位化，就得到一个标准正交向量组，所以，上述问题的关键是如何由一个线性无关向量组来构造出一个正交向量组，我们以3个向量组成的线性无关组为例来说明这个方法。设向量组线性无关，我们先来构造正交向量组，并且使与向量组等价（）。按所要求的条件，是的线性组合，是的线性组合，

为方便起见，不妨设

其中，数值k的选取应满足与垂直，即，注意到

于是得，

从而得，

对于上面已经构造的向量与，再来构造向量，为满足要求，可令，其中，,的选取应满足分别与向量与垂直，

即

此解得

于是得

容易验证，向量组是与等价的正交向量，若再将单位化，即令

（i=1,2,3）则就是满足要求的标准正交向量组。

施密特正交化

施密特正交化（Schmidt orthogonalization）是求欧氏空间正交基的一种方法。从欧氏空间任意线性无关的向量组α1，α2，……，αm出发，求得正交向量组β1，β2，……，βm，使由α1，α2，……，αm与向量组β1，β2，……，βm等价，再将正交向量组中每个向量经过单位化，就得到一个标准正交向量组，这种方法称为施密特正交化。

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文章来源：天狐定制

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