要证明函数的连续性，首先需要明确几种常见情况下的连续性判断方法。

如果函数是初等函数，如多项式、指数、对数或三角函数，在其定义区间上，它自然是连续的。

对于一元函数，通过对其求导，如果函数在某一点上有导数，那么该点的函数必定是连续的，因为可导意味着在该点函数的极限存在且与函数值相等。

如果以上方法均不可行，最后的手段是通过求极限来判断连续性。若函数在某点的极限值与该点的函数值相等，则说明函数在该点连续。

在处理分段函数时，尤其要注意分段点的连续性问题。这时，我们需要分别求取函数在该点的左右极限，如果左右极限相等且等于分段点处的函数值，那么分段函数在该点是连续的。

总结起来，证明函数连续性的策略主要包括：直接利用初等函数的连续性性质、通过导数判断连续性、求函数在关键点的极限，以及对于分段函数特别注意左右极限的比较。通过这些方法，我们可以系统地判断函数在给定点的连续性。

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