研究二阶线性系统相轨迹的意义主要体现在两个方面：一是许多非线性特性可以近似为分段线性的，如死区特性、饱和特性、继电特性等，而分段线性系统的相轨迹可以由几段线性系统相轨迹连接而成；二是大多数非线性系统在奇点附近的相轨迹，与其在奇点附近的线性化系统的相轨迹十分接近。

在相平面法的分析中，特别适合于包含分段直线非线性特性的系统的分析，同时，许多高阶系统常常可以近似为一阶或者二阶的模型。因此，熟悉一阶和二阶线性系统的相轨迹是很重要的。

考虑一阶自治系统，其相轨迹方程为 。假设x（0）＝x 0，则结果有 。相轨迹只是一条斜率为-1/T、通过原点的直线。如果T＞0，相轨迹沿着该直线收敛到原点；如果T＜0，相轨迹沿着该直线离原点而去。

在相轨迹的分析中，我们特别关注的是[公式] 为0/0型的点，即在它们上面轨迹的斜率不确定的点，这些点被称为奇点。系统在奇点上可以处于一种平衡状态。对于由上述方程给出的线性系统，唯一的奇点位于原点。

二阶系统的相轨迹分析更为复杂，首先考虑二阶微分方程描述的二阶线性系统。通过分析特征根，我们可以得到二阶系统的行为与其特征根密切相关。相轨迹可以采用解析法或图解法绘制。

在二阶系统的分析中，我们关注奇点类型，如稳定节点、稳定焦点、中心点、不稳定节点和不稳定焦点。奇点的类型决定了奇点附近相轨迹的运动形式。例如，在稳定节点附近，所有轨迹都以非振荡衰减的形式趋向并终止于原点；在欠阻尼二阶系统中，所有轨迹都是收敛的对数螺旋线。

对于非线性系统相平面分析的关键是绘出相轨迹图。有了相轨迹图，我们就能得到系统稳定性、稳定域、振型、稳态误差等方面的结论。通过绘出不同初始条件、不同输入、不同系统参数所对应的相轨迹图，研究其中的规律。绘制加进某种校正环节后的相轨迹图，可以研究非线性系统的校正。

在非线性系统的相平面分析中，极限环是一个重要概念，它是由非线性特性作用产生的特殊现象。极限环是非线性系统中的特有现象，只发生在非守恒系统中。极限环把相平面的某个区域划分为内部平面和外部平面两部分。

非线性系统的奇点类型分析可以通过将非线性系统在奇点处线性化来确定，根据线性化系统特征根的分布，可确定奇点的类型，进而确定奇点附近相轨迹的运动形式。

最后，对于一般的非线性系统，如果完全依赖于解析法或图解法来绘制相轨迹有时会比较困难。如果非线性特性可以分段用线性微分方程描述，那么可以把相平面划分为几个区域，在各个区域中的相轨迹就对应于各段的线性微分方程；而相平面区域的分界线称为开关线。根据该微分方程的奇点的性质，则可以绘制该区域的相轨迹，然后将各区域的相轨迹自然连接，便得到整个系统的相轨迹。

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文章来源：天狐定制

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