一个矩阵An可相似对角化的充分必要条件有两个：

An有n个线性无关的特征向量，An的k重特征值满足n-r(λE-A)=k。

矩阵可对角化的条件是有n个线性无关的特征向量。具体来说，一个实对称矩阵必须类似地对角化。如果特征值不同或彼此不同，那么可以立即得出结论，矩阵可以类似地对角化。如果有k个重特征值，那么n-r(E-A)=k，因为只有这个方程成立，才能说明存在k个线性无关的解向量，即特征向量。

N阶方阵可对角化的充要条件是N阶方阵中有N个线性无关的特征向量。如果这个N阶方阵有N个不同的特征值，那么矩阵中一定有一个相似的矩阵。如果N阶方阵中有重复特征值，则每个特征值的线性无关特征向量的个数恰好等于该特征值的重复次数。如果n阶矩阵A有n个不同的特征值，那么A一定与对角矩阵相似。

N阶方阵可对角化的充要条件是N阶方阵中有N个线性无关的特征向量。推断如果这个N阶方阵有N个不同的特征值，那么矩阵中一定有一个相似矩阵。如果N阶方阵中有重复的特征值，则每个特征值的线性无关特征向量的个数恰好等于特征值的重复个数。

阶矩阵可对角化的充要条件是存在线性无关的特征向量。如果属于不同特征值的矩阵的特征向量是线性无关的。如果阶矩阵有不同的特征值，可以对角化。

阶矩阵对角化的充要条件是每个特征值对应的线性独立特征向量的最大个数等于特征值的重数(即每个特征值对应的齐次线方程基本解系包含的向量个数等于特征值的重数，即每个特征值子空间的维数等于特征值的重数)。

扩展资料

如果V是有限维度的向量空间，则线性映射T：V→V被称为可对角化的，如果存在V的一个基，T关于它可被表示为对角矩阵。对角化是找到可对角化矩阵或映射的相应对角矩阵的过程。

可对角化矩阵和映射在线性代数中有重要价值，因为对角矩阵特别容易处理：它们的特征值和特征向量是已知的，并通过简单的提升对角元素到同样的幂来把一个矩阵提升为它的幂。

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文章来源：天狐定制

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