循环群的同构是群论中的一个重要概念。若群 G 和群 H 通过映射 φ 同构，且 G 是循环群，那么 H 必然也是循环群。

证明这一事实，首先假设 G 是群 U 的一个生成元，其等价关系为 U^n = g。若 φ 为从 U 到 H 的映射，则对于 φ(U)，我们有 (φ(U))^n = φ(U^n) = φ(g)。因为 φ 保持群的运算性质，即 φ(U^n) = φ(g)，所以 H 中的元素 (φ(U))^n 同样遵循循环群的性质，表明 H 也是循环群。

无限循环群与 Z 同构，有限循环群与 Z/nZ 同构。证明这一事实，需注意到循环群作为乘法群与加法群的同构性。设从 Z 到循环群 C 的映射 φ 为群同态。对于无限循环群，任意不同的整数对应于 C 中不同的元素，且每个整数在 C 中都能找到其原像，故 φ 为双射，从而为同构。对于有限循环群，分析相似。

根据同构，我们可以推断，对于无限循环群 Z 的任意子群 H，存在唯一的非负整数 n 使得 H = nZ。同样，对于阶为 n 的有限循环群 Z/nZ 的任意子群 H，存在唯一的正因子 d 使得 H = dZ/nZ。这些性质适用于循环群的子群分析。

进一步，考虑阶为 n 的有限循环群 Z/nZ 中阶为 d 的元的数量。这一数量由欧拉函数 φ(n) 给出，即小于 n 与 n 互质的正整数的数量。

证明这一事实，设循环群 Z/nZ 的生成元为 a。对于小于 n 与 n 互质的任意整数 d，我们有 dZ/nZ。考虑到 a^d 在 Z/nZ 中的周期性，可以证明 φ(n) 正确描述了阶为 d 的元的数量。

了解了循环群的同构及相关性质后，我们可以更好地理解群论中的抽象概念，并将其应用到实际问题中。参考视频如“一口气学完”密码学的数学基础 5，《群论》等资源，有助于加深理解群论基础知识。

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文章来源：天狐定制

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