空间中的一条曲线，可以用三个一元函数来表示。

在向量概念引入后，空间曲线自然能被一个一元向量函数表达。

三维欧氏空间中的标架概念，描述了空间中点与直线、平面的关系，以及平行公理。线段连接了两点，形成向量。相等向量的定义，以及向量加法、零向量、反向量和向量数乘的概念在此基础上构建。实数乘以向量的几何意义，被精确地定义。

在三维欧氏向量空间中，向量与点不同，它们是空间中不同元素的集合。在固定正交标架下，空间向量等同于三个实数的有序组合。向量点乘（内积）与叉乘（向量积）的定义，以及混合积的几何意义，为向量运算提供了几何框架。

向量函数的定义，结合连续性、可微性与导数、积分概念，形成对曲线的数学描述。向量函数的积分，与曲线长度、曲率和挠率的计算紧密相关。

正则参数曲线是曲线的特定形式，其切向量、正则点与参数变换的概念，以及弧长参数的引入，为曲线提供了自然的度量方式。在弧长参数下，曲线的曲率和挠率有特定的物理意义。

通过参数变换，可以将曲线映射为不同的参数形式，保持其几何性质不变。对于保持定向的参数变换，曲线可以被视为有向的正则曲线。

曲线的弧长是曲线长度的直观表述，曲线的曲率和挠率则描述了曲线的弯曲和扭曲程度。Frenet标架的定义，结合曲率、挠率与Frenet公式的引入，为曲线提供了局部的坐标系统。

曲线论的基本定理，通过曲率和挠率的关系，证明了曲线上点之间的刚体运动关系。通过函数与空间曲线的对应关系，可以唯一确定曲线。一般螺线、定倾曲线、柱面曲线等特定类型的曲线，以及它们的标准方程，为研究曲线提供了几何模型。

曲线参数方程在某点的展开式，通过Frenet公式得以简化，形成曲线在该点的局部描述。曲线的切触关系定义了曲线间的关系，密切球面的定义进一步揭示了曲线的几何性质。

共轭曲线的概念，以及Bertrand曲线偶的性质，提供了曲线间的一种特殊对应关系。渐伸线和渐缩线的定义，则加深了对曲线性质的理解。

平面曲线是三维空间曲线的一种特例，其Frenet标架场的确定仅依赖于一阶导数。相对曲率的概念，以及平面曲线的曲率中心和方向角，为平面曲线提供了独特的描述方式。

光滑闭曲线、分段光滑闭曲线和简单闭曲线的定义，以及连续可微闭曲线的旋转指标，为研究曲线的封闭性质提供了数学工具。定理证明了平面连续可微简单闭曲线的旋转指标。

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文章来源：天狐定制

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