这一大部分内容，我将会简单梳理环的知识。因为在校内的离散课上，环的知识涉及不多，我应该会先简单整理。如果假期有时间，我会补上更加奇妙的内容(*’U`*)

在这一节，主要针对于环的基本概念，并且将以多项式环为例，争取把知识点弄清楚、弄明白。

一、环的定义

在之前群的内容中，我们研究了集合上一元运算的性质。然而，我们日常的集合中常常是包含两种不同的运算的。例如数集中的加法和乘法，多项式的加法和乘法，模意义下的加法和乘法，矩阵中的加法和乘法，向量中的加法和向量积......似乎这些运算都被称之为“加法”和“乘法”。因此我们在环中，直接将两运算记作加法和乘法。

让我们直接引入环的定义。

1、环的相关定义

设[公式] 是一个代数系统，其中 [公式] 均为二元运算，如果其满足以下条件：

(1)[公式] 是一个Abel群；

(2)[公式] 是一个半群；

(3)[公式] 对 [公式] 满足分配律，即 [公式] 且 [公式] 。

这样，我们称[公式] 是一个环(ring)，其中 [公式] 称为加法， [公式] 称为乘法。

注意到，环中加法的单位元一般被称为零元，记作 [公式] 或 [公式] （角标 [公式] 表示所属的环），加法的逆元一般称作负元，记作 [公式] 。同时，我们将 [公式] 简记为 [公式] ，并将“ [公式] ”称为减法。

如果一个环含有乘法单位元，那么这个环被称为幺环(ring with identity)，幺环的乘法单位元被称为幺元，记作 [公式] 或 [公式] 。

在环[公式] 中，如果存在非零元 [公式] 满足 [公式] ，那么称 [公式] 为左零因子(left zero divisor)，称 [公式] 为右零因子(right zero divisor)。若一个元素既为左零因子，又为右零因子，那么称其为零因子(zero divisor)。

有幺元，无零因子的交换环称为整环(integral domain)。显然，域都是整环。（因为非零元素可逆，则必定不是左/右零因子）

注意：环无零因子等价于环的乘法消去律成立。

在幺环中，如果元素[公式] 的乘法逆元存在，那么称 [公式] 为环 [公式] 中的可逆元，并将其乘法逆元称为 [公式] 在环 [公式] 上的逆元(inverse)，记作 [公式] 。如果幺环中，每个非零元都含有逆元，那么称这个幺环为一个除环(division ring)，或称为体。

如果一个环满足乘法交换律，那么称这个环为交换环(commutative ring)。

如果一个环既是除环，又是交换环，那么这个环称为域(field)。显然，域都是整环。

注意： 　　在以下的讨论中，我们一般认为一个环的零元和幺元是不同的。如果二者相同，那么这样的环只有 [公式] 一个元素，则被称之为零环，它的研究意义不大，我们一般不考虑。

二、举例

(1)[公式] 为一个环，称为整数环。同样地， [公式] ， [公式] ， [公式] 也是环。

(2)[公式] 是一个环，称为高斯环（高斯整数环）。其中的 [公式] 称为高斯整数。一般地， [公式] 称为高斯整数环的推广环。

(3)[公式] 阶整数方阵集合 [公式] 关于矩阵的加法和乘法构成一个环。类似地，[公式] 阶有理数方阵集合 [公式]，[公式] 阶实数方阵集合 [公式]也构成环。

(4)全体整系数多项式组成的集合[公式] 关于多项式加法和多项式乘法构成环，称为整系数多项式环。类似地， [公式] ， [公式] 同样构成环，依次称为有理数多项式环，实系数多项式环。

(5)[公式] 构成环，称为模 [公式] 剩余环。（或称模 [公式]剩余类环/模 [公式]同余类环）特别地，当 [公式] 取素数 [公式] 时，它是一个域。

(6)[公式] 是一个域。

三、子环

1、定义

若[公式] 是一个环， [公式] 且 [公式] 也是一个环，那么称 [公式] 是 [公式] 的子环(subring)， [公式] 是 [公式] 的扩环(extension ring)。

2、判定

[公式] 是环 [公式] 的子环当且仅当以下三条同时成立：

(1)[公式] ；

(2)[公式] ；

(3)[公式] 。

3、举例

(1)整数环ℤ是有理数域ℚ的子环，有理数域ℚ是实数域ℝ的子环。

(2)偶数环2ℤ是整数环ℤ的子环。

四、环的简单性质

1、特殊元素的性质

(1)[公式] 。

(2)[公式]

采用分配律即证，略。

2、运算性质

(1)广义分配律

[公式] ；

[公式] 。

采用归纳法，多次使用二元分配律即证。

(2)指数律

在环[公式] 中，我们定义倍数和 [公式] （共 [公式] 个， [公式] ）；定义幂 [公式] （共 [公式] 个， [公式] ）。那么有以下指数律成立：

(1)[公式] ；

(2)[公式] ；

(3)[公式] 。

证明是显然的。

(3)求和号的性质

[公式] 。

我们应当注意到，将左式采用分配律展开，即得右式。

五、整环、除环的性质

1、设[公式] 是无零因子的有限环，且 [公式] ，则 [公式] 是除环。

对每个元素[公式] ，考虑 [公式] 中必定有它的逆元，即证。

根据这个结论，我们立刻可以得到下面的推论：

2、有限整环必定是域。

这一节就先到这里吧。感觉自己写的内容不少，但是还是有点混乱。如果有空，我应该还会在假期完善一下相关的内容。

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文章来源：天狐定制

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