探讨时间连续状态离散的马尔科夫链的柯尔摩哥洛夫理论。

马尔科夫链的基本性质包括强度为$\lambda$的泊松过程，其状态空间为$X$，对于$X$，有$P(X_{t+s}=x|X_t=y)=\lambda sP(X_s=x|X_0=y)+o(s)$。若上述概率只与$t$有关，而与$X_t$无关，则称此马尔科夫链是时齐的。连续时间马尔科夫链包含的参数有转移概率矩阵$P$和滞留时间分布$T$。

生灭过程由两组参数定义：状态$x$表示系统中某一物种的数目，当系统处于状态$x$时，有$P(X_{t+s}=x+1|X_t=x)=\lambda x s+o(s)$和$P(X_{t+s}=x-1|X_t=x)=\mu x s+o(s)$。举例说明，强度为$\lambda$的泊松过程可以作为生灭过程的实例。

通过构造微分方程，可以解决关于系统中在$t$时刻个体数目的问题。对生灭过程，用$\tau_x$表示从状态$x$出发，首次访问状态$y$的时间。结论是$\tau_x$的分布与时间$t$无关。

柯尔莫哥洛夫的向前和向后方程是分析连续时间马尔科夫链的关键。定义转移概率矩阵$P$和生成矩阵$Q$，其中$Q$具有如下性质：对于所有状态$x$和$y$，$Q_{xy}$表示从状态$x$转移到状态$y$的瞬时概率。推导和证明展示了连续时间马尔科夫链的转移概率如何在不同时间点展开。

机器工作的情况可以类比生灭过程，考虑一台机器的正常工作时间和故障修理时间，求解在$t$时刻机器仍处于正常工作状态的概率。通过构造生成矩阵$Q$，利用特征值和特征向量的性质，可以求解在稳态时的极限分布。

一致化技巧和时间可逆一致化是将连续时间马尔科夫链转换为离散时间辅助马氏链的工具。通过引入泊松过程和构造新马氏链，可以利用这些技巧简化问题，尤其在有限状态空间的情况下。

连续时间可逆马氏链具有时间对称性，即正向和反向的随机过程在稳态时一致。对于不可约遍历的生灭过程，证明了其关于时间可逆性。

矩阵指数的计算对于理解连续时间马尔科夫链的长期行为至关重要。如果矩阵可对角化或可约当化，可以利用其特征值和特征向量简化指数的计算。举例说明矩阵指数的计算过程，以及如何利用其性质来解决特定问题。

柯尔摩哥洛夫理论在分析时间连续状态离散的马尔科夫链时提供了强大的工具和方法。通过对生成矩阵的性质和方程的推导，可以深入了解这些系统的动态行为和长期稳定性。

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文章来源：天狐定制

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