施密特正交化是一种将线性无关的向量集合转化为正交向量集合的方法。

以下是施密特正交化的步骤：

假设有一个线性无关的向量集合 {v?, v?, …, vn}。

1.初始化一个正交向量集合 {u?}，它的第一个向量 u? 就是 v?。可以直接将 v? 归一化得到 u?。

u? = v? / ||v?||（||v?|| 表示向量 v? 的模）

2.对于剩下的向量 v?, v?, …, vn 进行如下操作：

a. 对于第 i 个向量 vi，计算它与前面所有的正交向量 ui 的投影。

proj?? = (vi · ui) * ui （proj?? 表示向量 vi 在 ui 上的投影）

（· 表示两个向量的点乘）

b. 将所有的投影 proj?? 相加，并从向量 vi 中减去这个总和，得到一个新的向量 vi。

u? = vi - ∑proj?? （∑ 表示求和）

c. 将新得到的向量 u?归一化，即除以它的模。

u? = u? / ||u?||

3.重复步骤 2，直到处理完所有的向量 vi。

最终得到的正交向量集合 {u?, u?, …, un} 是原始向量集合 {v?, v?, …, vn} 的正交基。

施密特正交化的核心思想是将向量的投影分解，从而得到与之前向量正交的新向量。通过迭代这个过程，可以得到具有正交性的向量集合。这样的正交向量集合在许多数学和科学计算中有很多应用，如线性代数、信号处理和机器学习等领域。

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文章来源：天狐定制

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