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完完全全没有必要记任何技巧。

完完全全没有必要记任何技巧。

完完全全没有必要记任何技巧。

题目做多了发现，只需要熟练最本质的分布函数法就可以了，因为题目多变，有时候取巧反而弄巧成拙。

只有分布函数始终如一，各种怪题一拳打爆。而简单题增加的计算量又可以忽略。

（半年前旧回答）

理解不就完了。

首先需要理解：概率密度是什么、多维随机变量函数的分布意义是什么。

概率密度带有密度二字，可理解为某区域某点的富集程度，和质量密度类似。一维分布中面积为概率，而X的概率密度体现为点X的高度。二维分布中体积为概率，对应的X概率密度就是以Y为界限，垂直x轴过点X的截面面积。

多维随机变量函数的分布意义：XY事件分布受到Z函数的限制，即对Z来说，它只是一个XY平面定义域限制条件，并不影响XY的联合概率分布（二重积分面包不变！）。

于是Z的分布函数就是XY被Z限制下，XY联合分布函数的值。

Z的概率密度就是以直线Z=f(x,y)底线的截面面积（以Z为自变量的轴垂直于Z=f(x,y)直线），对于和差的分布，Z的概率密度就是斜率为45°的斜截面面积。

到这里如何求Z的概率密度？两个方法-分布函数定义法、卷积公式法。

分布函数定义法不必多说，卷积公式如何推导。公式化推导可参考张宇的先导后积法，或者梨米特考研数学的交换积分次序法。

梨米特考研数学的个人空间_哔哩哔哩_Bilibili

这里描述一下几何理解上的推导，由前面可知：Z为XY分布的限制函数，Z的概率密度是曲线Z对XY面包的竖切面面积。

求Z对面包竖切面面积，需要知道两个东西——XY联合概率密度（高），所求值即Z=z时曲线交定义域的长度（底边切线长）。由于高是变化值，借用积分思想，无穷划分竖切面为线，每根线高*底长的积分=面积。划分数量为z交定义域的长度。

故曲线的长度（取值范围）就是积分区间。卷积公式唯一难度就在这里，求解曲线的长度。因为Z受到XY的限制，二元限制下如果要用到积分思想直接dz非常困难。而若把XY其中之一用Z+X（Y）表现，则定义域可以用新的二元平面表示（Y=Z-X，通过Y的范围确定Z在Z—X的分布关系），求解此坐标系下Z对定义域的切线长，就是对X的积分。

同时XY联合概率密度也用Z代换Y，留下待积分的变量X，代换的是一个复合函数Z，需求导出系数，概率没有负数加上绝对值。完毕。此处积分区间正负无穷因为XY定义域也是无穷。

过程比较抽象，建议联系实际习题图解理解。

所以概率卷积公式是什么，是通过分布函数的定义逐步推导出来的结论，比单纯用分布函数法要省略一堆步骤。

分布函数法要先求Z分布函数（在受限的XY范围里，两次二重积分求体积），再定区间求导

而XY为相互独立时，应用卷积公式可直接得到内部函数，只需要两次一重积分（求截面积）

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更新：

慕名去看了森哥的暴力求导法（莱布尼茨公式法），比上面宇哥的死背公式要好得多。所有题目归结于一个含参变量二元求导，而且最复杂的积分采用了先导后积，对于复杂概率密度函数大大降低了运算。好处在于统一性，稳定性，计算简易性。坏处在于公式本身繁琐。

（暴力求导法基础班比强化班全面）

然后是方浩的沙皮狗大法，有点取巧的意味，和我前面的几何描述相似，但是他简化了所有步骤，直接给出了区间划分的方法——直线划分法。主要陌生地方在于几个变量之间的转化。其余还是求积分，没有简化概率密度公式。

总结：经过一些常见题型的计算比较，方浩的方法最快最轻松。难积分的题可以用暴力求导法先导后积。以上两位都比宇哥死背公式法，或者其他人现场推公式简便太多。

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文章来源：天狐定制

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