由于积分区域是个球体，根据对称性知道，原式可以写成8倍在第一卦限的积分：

原式=8∫∫∫（x+y+z）dV

然后用求坐标求就简单了：

x=rsinθcosφ，y=rsinθsinφ，z=rcosθ，dV=r^2*sinθdrdθdφ

其中，r从0→a，θ和φ都是从0→π/2

被积函数变成=8（rsinθcosφ+rsinθsinφ+rcosθ）r^2*sinθ

=8r³[sin²θ(cosφ+sinφ)+sinθcosθ]

这就变成了在上面给的各自的积分区间内的一重积分了，

对r³积分结果是1/4a^4

对cosφ+sinφ积分结果是2

对sin²θ积分的时候用降幂公式sin²θ=(1-cos2θ)/2，所以积分结果是π/4

对sinθcosθ积分的时候用二倍角公式，sinθcosθ=1/2sin2θ，积分结果是1/2

最后=8*1/4a^4*(π/4*2+1/2)=(π+1)a^4

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文章来源：天狐定制

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