回顾对称矩阵性质，我们了解对称矩阵的特征值为实数，特征根代数重数与几何重数相等，且存在n个线性无关特征向量，进而可相似对角化，对称矩阵能正交对角化。正交对角化强调对称矩阵在正交坐标系下，变换等同于对角矩阵的变换。

正交对角化的关键在于，对称矩阵的n个线性无关特征向量彼此正交，构建的正交矩阵P，将对称矩阵A分解为正交矩阵P、对角矩阵D与P的逆乘积，即对称矩阵A = PDP^-1。从几何角度看，此变换在标准坐标系与正交坐标系间等效。

对称矩阵的正交对角化涉及非对称矩阵、对称矩阵与单位矩阵的相似对角化。非对称矩阵经过相似对角化后得到相似对角矩阵D与P、P逆；对称矩阵的相似对角化中，P与P逆均为单位矩阵，体现正交对角化的特例；单位矩阵在正交对角化中同样可对角化，得到相似对角矩阵D与P、P逆，表明单位矩阵的正交对角化本质。

谱分解定理指出，任意对称矩阵A可通过标准正交矩阵Q、相似对角矩阵D与Q的逆来表达，等式A = QDQ^-1即为谱分解定理，其中D为A的特征值构成的对角矩阵，Q为A的n个正交且线性无关特征向量构成的标准正交矩阵。

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文章来源：天狐定制

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