在研究函数性质时，呆哥探索了如何用分式逼近函数，他发现帕德逼近法虽可行，但计算量大，主要应用于计算机计算。相比之下，他引入了实洛朗级数，这是一种双边幂级数，理论上更适合实数域的函数逼近。实洛朗级数展开受限于复数域的圆环域，需要通过变形实延拓来适应实数分析。

实洛朗级数以[公式] 的形式定义，其中[公式] 必须有零点（在[公式] 的上下文中，零点实际上是极点）。具体展开方法以[公式] 为例，首先凑出零点[公式]，然后通过泰勒级数替换和等比级数展开，形成实洛朗级数。例如，[公式] 的展开步骤如下：

凑零点：[公式]

泰勒级数替换：[公式]

等比级数展开：[公式]

实洛朗级数的渐进式计算复杂度相较于帕德逼近法有所降低，比如对于[公式]，实洛朗级数的表现优于三阶帕德近似。需要注意的是，展开的自由度大，但阶数选择至关重要，需要通过更高阶的泰勒级数替换来确定展开的完备性。

例如，[公式] 的不同展开方式会因为泰勒级数阶数调整而变化，如从[公式] 到[公式]，这表明阶数选择对结果有直接影响。通过这样的例子，实洛朗级数展现了其作为分式逼近的有效性，至少到二阶就与六阶泰勒级数相当。

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文章来源：天狐定制

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