基本知识结构

1. 二次型及其矩阵表示

（1）二次型的定义：设P是一个数域，在数域P上的n元二次齐次多项式，称为数域P上的一个n元二次型。

（2）二次型的矩阵：令矩阵A的系数为二次型的系数，A称为二次型矩阵。二次型与它的矩阵是相互关联的。

（3）线性变换：通过线性替换可以将二次型化简，若线性变换为非退化，二次型会被简化。

2. 合同矩阵

（1）定义：两个矩阵A和B在数域P上合同，表示存在可逆矩阵C使得B = C^TAC。

（2）合同矩阵的性质：具有反身性、对称性、传递性和保持秩不变。

3. 二次型的标准型及其化法

（1）标准型：任意二次型经过非退化线性替换可以被化简为平方和形式。

（2）化法：通过配方法或初等变换法化简二次型至标准形。

4. 二次型的规范性及其唯一性

（1）合同矩阵等秩。

（2）复系数二次型规范形唯一。

（3）实系数二次型规范形也唯一，称为惯性定理。

（4）正负惯性指数及符号差定义。

5. 正定二次型的定义与判定

（1）定义：对于任意不全为0的实数c1,c2,...cn，若实二次型[公式]的值大于0，则称为正定的。

（2）正定性与对称矩阵合同、行列式大于0的关系。

（3）正定二次型的判定：正惯性指数等于n、顺序主子式全大于0。

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文章来源：天狐定制

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