在矩阵理论中，判断两个矩阵是否合同是一项重要任务。对于复数域上的n阶对称矩阵A和B，它们在复数域上合同等价于A与B具有相同的秩。这意味着，如果两个矩阵在复数域上的秩相等，那么这两个矩阵就合同。

而对于实数域上的n阶对称矩阵A和B，它们在实数域上合同等价于A与B拥有相同的正、负惯性指数，即它们正、负特征值的个数相等。正惯性指数指的是矩阵正特征值的个数，负惯性指数指的是矩阵负特征值的个数。这种性质在线性代数中尤为重要，特别是在二次型理论的研究中。

具体来说，如果矩阵A和B是实对称矩阵，那么它们合同意味着存在一个可逆矩阵P，使得通过非退化的线性替换可以将A转换为B，或者将B转换为A。这种转换反映了二次型矩阵在不同坐标系下的表示方式。通过这种转换，我们可以了解不同矩阵之间的关系和性质。

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