拉格朗日中值定理有一个变形，即所谓的有限增量公式：f(x0+Δx)-f(x0)=f'(x0+θΔx)Δx，0<θ<1。其中的θ有一个很重要的性质：

若f(x)的二阶导在x0点连续，且不等于0，则

证明如下：

由于f''(x)在x0点连续，所以有

同时代入有限增量公式，可得

利用f"(x)在x0点处的连续性及f"(x0)≠0，在等式两边同取极限（令Δx趋于0），即可得结论。

扩展资料：

拉格朗日中值定理的运动学意义

对于曲线运动在任意一个运动过程中至少存在一个位置（或一个时刻）的瞬时速率等于这个过程中的平均速率。

拉格朗日中值定理在柯西的微积分理论系统中占有重要的地位。可利用拉格朗日中值定理对洛必达法则进行严格的证明，并研究泰勒公式的余项。从柯西起，微分中值定理就成为研究函数的重要工具和微分学的重要组成部分。

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