一、关于三个变换之间的联系：

变换和变换：拉普拉斯变换可以视为广义傅里叶变换，信号 的拉普拉斯变换等同于 经过实信号 调制后的傅里叶变换，因此对于某些函数，当时，拉普拉斯变换等同于傅里叶变换。

变换和变换：拉普拉斯变换针对连续时间信号，变换针对离散时间信号，傅里叶变换则可对连续和离散时间信号进行处理。本质上，变换也是通过对连续时间信号进行抽样后得到的拉普拉斯变换，因此在平面和平面之间存在对应关系 。

注：当时，傅里叶变换可以直接由拉普拉斯变换替换得到，但对于 ，傅里叶变换中仍包含奇异函数项。

二、常用傅里叶变换对

定义式：[公式]

门函数：[公式]

单边指数：[公式]

直流：[公式] 相应地，冲激信号： [公式]

符号函数：[公式] 相应地，利用对偶性质， [公式]

阶跃函数：[公式]

正弦函数：[公式]

余弦函数：[公式]

三、常用拉普拉斯变换对（主要是单边拉普拉斯变换）

阶跃函数：[公式] ， 时收敛

指数函数：[公式]

单位冲激信号：[公式] ，在全s域平面上收敛

斜坡信号：[公式] ，可以递推得到 [公式] ， 时收敛

正弦函数：[公式] , 时收敛

余弦函数：[公式] ， 时收敛

四、常用变换对

注意：变换必须写收敛域，因为不同收敛域展开的结果不同（如洛朗展开）。

单位冲激序列：[公式] [公式] ，根据性质相应有 [公式]

指数序列：[公式]

若[公式] ，则 [公式]

五、各个变换的性质

拉普拉斯变换的性质与傅里叶变换相似，如尺度变换、频移性质、时移性质和卷积定理。不同的是，拉普拉斯变换还有初值定理和终值定理，用于求函数的初值和终值。由于变换的对象是离散序列，左移位和右移位则需要删除和添加相应的项再乘上移位因子，初值定理和终值定理与拉普拉斯变换类似，列在下方。

初值定理：

变换： [公式]

变换： [公式] (注意 为真分式）

终值定理：

变换： [公式]

变换： [公式]

六、判定系统的因果性和稳定性

因果性和稳定性的联系：稳定系统一定是因果的，因果系统不一定是稳定的。

变换：若 的所有极点位于s平面左半平面（不包括虚轴），则系统是稳定的。若 的极点都在收敛轴的左边，则系统是因果的。

变换：若 的所有极点落在单位圆之内，则系统是稳定的。若 的收敛域在圆外，换言之极点都在收敛圆内部，则系统是因果的。

这两个判定的依据实质上是相同的，因为 域的左半平面对应的就是 平面的单位圆之内， 域收敛轴的左边对应于 平面圆内部。

七、判断滤波特性

滤波特性有低通、高通、带通和带阻这几种类型，主要通过系统函数来判断滤波特性。

一般来说，系统函数可以表示为如下形式

[公式]

根据系统函数，可以作出其零极点图，而系统的幅频响应可以视为零点到频率点的向量的模值与极点到频率点的向量的模值的比值（如果有多个零点和极点，则为每个矢量的模值之积），随着频率点[公式] 的增大，可以大致通过模值之比来作出系统幅频响应的曲线，然后判断滤波特性。

如果是离散系统的系统函数[公式] ，则零极点的矢量则是在单位园上移动。

除了矢量的方法，还有一种波特图的方法，在了解极零点在实轴和极零点为复数的波特图情况下，不同的系统函数的波特图只是它们的组合。

这里列举几种情况：

当极点在实轴，[公式] ，该系统为低通. 下图 [公式]

当零点在实轴，[公式] ，该系统为高通.

当极零点为复数时，[公式] ，系统为带通.下图 [公式]

对于系统函数[公式] ，在这里也可以用口诀辅助记忆（但是并不完全准确）：分子上有什么就通什么，具体解释就是对于 [公式] ，分子是“低次”的，因此为低通；对于 [公式] ，分子上有与分母相同的“高次”，因此为高通；不过对于 [公式] ，这个系统有可能是全通的，这个时候还是要回到矢量法判断；对于 [公式] ，分子是“中间次”的，因此为带通.

不过零极点矢量法和波特图的方法都是一种粗略的估计。

以下是一些其他系统函数示例.

[公式] .如下图

[公式]

[公式]

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文章来源：天狐定制

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