对角矩阵是一种特殊的方阵，其特点是除了主对角线上的元素外，其他元素都为0。对角矩阵具有以下性质：

1.对角矩阵的转置是对角矩阵：设A是一个n阶对角矩阵，其对角线元素为a1,a2,...,an，则A的转置AT也是一个n阶对角矩阵，其对角线元素为a1,a2,...,an。

2.对角矩阵的逆矩阵是对角矩阵：设A是一个n阶可逆对角矩阵，其对角线元素为a1,a2,...,an，则A的逆矩阵A-1也是一个n阶对角矩阵，其对角线元素为a1,a2,...,an的倒数。

3.对角矩阵与单位矩阵相乘得到另一个对角矩阵：设A是一个n阶对角矩阵，其对角线元素为a1,a2,...,an，则A与单位矩阵I相乘得到的矩阵AI也是一个n阶对角矩阵，其对角线元素为ai。

4.对角矩阵与向量相乘得到另一个向量：设A是一个n阶对角矩阵，其对角线元素为a1,a2,...,an，向量x=(x1,x2,...,xn)T，则A与向量x相乘得到的向量y=Ax也是一个n维向量，其分量为y1=ax1,y2=ax2,...,yn=an。

5.对角矩阵的行列式等于其对角线元素的乘积：设A是一个n阶对角矩阵，其对角线元素为a1,a2,...,an，则A的行列式|A|等于a1*a2*...*an。

6.对角矩阵的秩等于其非零对角线元素的个数：设A是一个n阶对角矩阵，其对角线元素为a1,a2,...,an，若ai≠0（i=1,2,...,n），则A的秩等于非零对角线元素的个数。

7.对角矩阵的特征值等于其对角线元素的平方：设A是一个n阶对角矩阵，其对角线元素为a1,a2,...,an，则A的特征值λi等于ai_（i=1,2,...,n）。

8.对角矩阵的特征向量等于其对应特征值的幂次方乘以一个标准正交基：设A是一个n阶对角矩阵，其对角线元素为a1,a2,...,an，特征值λi=ai_（i=1,2,...,n），则对应的特征向量xi可以表示为(ei1*x1,ei2*x2,...,ein*xn)T，其中ei是第i个标准正交基向量。

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文章来源：天狐定制

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