斯托克斯公式，又名开尔文-斯托克斯定理或旋度定理，是一个在数学中用于计算曲面通量的重要工具。当面对分段光滑的空间有向闭曲线Γ和以它为边界的分片光滑的有向曲面S时，如果函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在曲面上及其边界上具有连续的一阶偏导数，该公式给出如下关系：

若曲面S遵循右手规则，且边界Γ的方向与之匹配，那么旋度定理适用于计算从右边曲面流出的通量，但不适用于计算从闭曲面的内部流出的通量。在这个几何设置中，蓝色代表曲面，红色代表边界。

斯托克斯公式以梯度算符的形式表达为一个从曲线积分到面积积分的转换公式，适用于可定向分段光滑的n维流形M。如果M有一个边界，并且边界的方向与M诱导的方向一致，那么公式涉及到外微分dω，它仅依赖于流形自身的结构。

这个一般的斯托克斯公式（generalized Stokes' formula）是微积分基本定理、格林公式、高斯-奥本海默公式以及斯托克斯公式在更高维度的扩展。在实际应用中，它尤其适用于当M作为更大流形的嵌入子流形时。

此外，定理能够简单地推广到分段光滑的子流形的线性组合，展示了积分在相差一个恰当形式的闭形式的链上是不变的，这一特性在同调群和德拉姆上同调的配对中起着关键作用。

总结来说，斯托克斯公式是一个强大的数学工具，它在处理曲面通量问题以及流形的几何性质时发挥着重要作用。

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文章来源：天狐定制

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