是指曲面表面的面积。把光滑曲面S分成没有公共内点的n块S1,... , Sn，且每一块仍是光滑曲面，在每个S上取一点P，过P作S的切平面T，将s投影到T上，所有这些投影的面积之和的极限(当所有S的直径趋于零时)如果存在，就是曲面S的面积，对有界简单光滑曲面而言，这样的极限总是存在的，而且与曲面的光滑等价的参数表示的选择无关。

设空间有界曲面

为

其中

是

在

面上的投影区域，

在

上具有连续的偏导数，下面讨论曲面

的面积的计算问题。

现用平行于x轴和y轴的两组平行直线分割投影区域

，任取其中的一块记作

，其面积也记作

，则当

的直径很小时，

表示以

的边界为准线，母线平行于z轴的柱面截得的曲面

上的那部分，设

是

上的任一点，根据条件，曲面

在点P处有切平面，则可用柱面截得切平面上的那一小片平面的面积dS近似地代替

的面积

，则

其中，

是切平面与

面的夹角，也就是切平面的法向量n与

面的法线

轴的夹角，由曲面

的方程可知

所以

代人式(1)得

则曲面的面积微元为

将dS在投影区域

上积分，便得计算曲面面积的二重积分公式

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