若随机变量X服从二项分布，即X~B(n, p)，则有E(X) = np，其均值和方差分别是np与np(1-p)。在学习二项分布时，可能觉得期望与方差的公式形式简单，但自行推导时发现其实并不简单。接下来，我们将对二项分布的期望与方差的推导过程进行总结。

二项分布期望的推导过程如下：

E(X) = Σ从k=0到n (k * C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k))

注意到C(n, k)可视为一个常数，所以可以将其提取出来，得到C(n, k) * Σ从k=0到n (k * p^k * (1-p)^(n-k))。

接着，对内部求和项使用导数技巧，设y = p * x + (1-p)，则得到E(X) = np。

接下来，我们推导二项分布的方差。

注意到方差V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2，其中E(X^2) = Σ从k=0到n (k^2 * C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k))。

同样地，对内部求和项使用导数技巧，得到E(X^2) = np + np(1-p)。

因此，V(X) = np + np(1-p) - (np)^2 = np(1-p)。

以上为二项分布期望与方差的推导过程，希望能帮助理解二项分布的基本性质。

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文章来源：天狐定制

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