正交变换后特征值保持不变。

由于向量的长度和角度是基于内积定义的，因此正交变换前后的每个向量的长度以及它们之间的夹角都保持不变。这意味着，如果一个向量集是标准正交基，那么经过正交变换后，它依然保持为标准正交基。在有限维空间中，正交变换在标准正交基下的表示形式为正交矩阵，而该矩阵的每一行和每一列也各自构成向量空间的一组标准正交基。正交矩阵的行列式只能是+1或-1，因此正交变换的行列式也只能是+1或-1。其中，行列式为+1的正交变换被称作第一类，对应于旋转；行列式为-1的正交变换则被称作第二类，对应于瑕旋转变换。由此可见，欧几里得空间中的正交变换包括旋转、反射及其组合，即瑕旋转。

正交变换的逆变换同样是正交变换，其矩阵表示就是原矩阵表示的逆矩阵。

在进行正交变换时，特征值保持不变是一个重要的性质。这是因为正交变换本质上是一种保持内积不变的线性变换，而内积的不变性直接导致了特征值的不变性。这一性质在许多数学和物理学的应用中都具有重要意义。

值得注意的是，尽管正交变换的行列式为+1或-1，但这并不意味着变换后的向量模长和夹角发生了改变。事实上，正是由于正交变换保持了向量的长度和角度不变，才使得特征值得以保持。

综上所述，正交变换的特征值不会改变，这一性质源自于正交变换保持向量长度和夹角不变的本质。

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