这个问题反过来说比较顺, 即: 若f(x)在(a,b)上可导, 则f'(x)没有第一类间断点.

原因是若lim{x → c-} f'(x)存在, 由L'Hospital法则可知其等于f(x)在c的左导数.

而若lim{x → c+} f'(x)存在, 其等于f(x)在c的右导数.

又由f(x)在c处可导, 可得f'(c-) = f'(c) = f'(c+), 即f'(x)在c连续.

因此f'(x)没有第一类间断点.

类似的分析可以说明, f'(x)没有无穷型间断点.

因为由x → c-时f'(x) → +∞, 可得f(x)在c的左导数不存在, 对-∞同样.

另外由Darboux定理, 若x → c-时f'(x) → ∞, 则有f'(x) → +∞或f'(x) → -∞, 不会两边振荡.

另一方面, f'(x)可以有第二类间断点.

经典的例子是f(x) = x²sin(1/x), 补充定义f(0) = 0.

在x ≠ 0处, f'(x) = 2x·sin(1/x)-cos(1/x), x → 0时在[-1,1]振荡.

此外, f'(x)还可以无界, 例如: f(x) = x^(4/3)·sin(1/x), 补充定义f(0) = 0.

在x ≠ 0处, f'(x) = (4/3)·x^(1/3)·sin(1/x)-x^(-2/3)·cos(1/x), x → 0时在(-∞,+∞)振荡.

注: 在(-∞,+∞)振荡还会取得中间值, 因此并非f'(x) → ∞的无穷型间断点.

本文地址： http://www.goggeous.com/20241228/1/973791

文章来源：天狐定制

版权声明：除非特别标注，否则均为本站原创文章，转载时请以链接形式注明文章出处。