1、矩阵不同的特征值对应的特征向量一定线性无关

证明如下：

假设矩阵A有两个不同特征值k,h，相应特征向量是x,y

其中x,y线性相关，不妨设y=mx，因此，得到

Ax=kx【1】

Ay=hy=hmx

即Amx=hmx【2】

而根据【1】有

Amx=kmx【3】

【2】-【3】，得到

0=(h-k)mx

由于特征向量x非零向量，而h,k两个特征值不相同，即h-k不为0

则m=0，则y=mx=0，这与特征向量非零向量，矛盾！

因此假设不成立，从而结论得证

2、相同特征值对应的特征向量不一定线性无关

因为，某个特征值的一个特征向量的非零倍数，也是该特征值的特征向量

但两个特征向量，因为是倍数关系，因此是线性相关的。

又例如，如果一个特征值，相应特征方程解出来，基础解系中有多个解向量，这些解向量是线性无关的，且都是此特征值的特征向量。

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