高等代数（3）---线性空间的内容包括定义、条件、公理化定义等，具体如下：

一、定义

向量空间定义为带有加法和标量乘法的集合V。向量空间亦称线性空间。它是线性代数的中心内容和基本概念之一。

二、条件

设V是一个非空集合，P是一个域。若：

1、在V中定义了一种运算，称为加法，即对V中任意两个元素α与β都按某一法则对应于V内惟一确定的一个元素α+β，称为α与β的和。

2、在P与V的元素间定义了一种运算，称为纯量乘法（亦称数量乘法），即对V中任意元素α和P中任意元素k，都按某一法则对应V内惟一确定的一个元素kα，称为k与α的积。

3、加法与纯量乘法满足以下条件：

α+β=β+α，对任意α，β∈V.

α+(β+γ)=(α+β)+γ，对任意α，β，γ∈V.3) 存在一个元素0∈V，对一切α∈V有α+0=α，元素0称为V的零元.

对任一α∈V，都存在β∈V使α+β=0，β称为α的负元素，记为-α.

对P中单位元1，有1α=α(α∈V).

对任意k，l∈P，α∈V有(kl)α=k(lα).

对任意k，l∈P，α∈V有(k+l)α=kα+lα.

对任意k∈P，α，β∈V有k(α+β)=kα+kβ，

则称V为域P上的一个线性空间，或向量空间。V中元素称为向量，V的零元称为零向量，P称为线性空间的基域。

三、公理化定义

（一）设F是一个域。一个F上的向量空间是一个集合V的两个运算：

1、向量加法：V + V → V, 记作 v + w,V v, w∈V

2、标量乘法：F × V → V, 记作 a·v, V a∈F, v∈V

（二）符合下列公理 (∀ a, b ∈ F 及 u, v, w ∈ V)

1、向量加法结合律：u + (v +w) = (u + v) + w；

2、向量加法交换律：v + w = w + v；

3、向量加法的单位元：V 里有一个叫做零向量的 0，∀ v ∈ V , v + 0 = v；

4、向量加法的逆元素：∀v∈V, ∃w∈V，使得 v + w = 0；

5、标量乘法分配于向量加法上：a(v + w) = a v + a w；

6、标量乘法分配于域加法上：(a + b)v = a v + b v；

7、标量乘法一致于标量的域乘法：a(b v) = (ab)v；

8、标量乘法有单位元：1 v = v, 这里 1 是指域 F 的乘法单位元。

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文章来源：天狐定制

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