[公式]

为了简化，令[公式]表示方程组的系数, [公式]表示方程组的未知量, [公式]表示常数项，则可将上式转化为[公式]

*[公式]为非齐次线性方程组，[公式]为齐次线性方程组

非齐次线性方程组的解=齐次线性方程组的解+特解

一个n元方程[公式]

可以用n+1元有序数组[公式]来表示，所谓方程之间的关系实际上就是代表它们的n+1元有序数组之间的关系。

1.n维向量：由数域P中n个数组成的有序数组[公式]，[公式]为向量的分量。

2.n维向量空间：以数域P中的数作为分量的n维向量的全体，同时考虑到定义在它们上的加法和数乘。

3.性质（向量加法，数乘满足8个性质）

加法：①[公式]（交换律）

②[公式](结合律）

③存在[公式]，使[公式]，[公式]

④[公式],[公式],使得[公式]

数乘：⑤[公式]（一乘不变性）

⑥[公式](乘法结合律）

数乘与⑦[公式]

加法：⑧[公式]

1.定义：如果向量组[公式]中有一个向量可以由其余向量线性表出，那么向量组线性相关（是关于一个向量组内部关系的定义）

[公式]如果[公式]不全为零，[公式]，那么向量组[公式]线性相关

2.性质：①任何一个包含零向量的向量组必定线性相关

②两个向量组线性相关的几何意义是它们共线，三个是共面

③如果一向量组的一部分线性相关，那么这个向量组就线性相关（部分相关→整体相关）

④任意n+1个n维向量必线性相关

⑤如果向量组[公式]可以经[公式]线性表出；[公式]，[公式]必线性相关

线性无关

1.定义：如果由[公式]可以推出[公式]，那么向量组[公式]线性无关

向量组线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组[公式]只有零解

2.性质：①两个线性无关的等价向量组必含有相同个数的向量

②如果一向量组线性无关，那么它的任何一个非空部分组也线性无关（整体无关→部分无关）

③如果向量组[公式]可以经[公式]线性表出；[公式]线性无关

[公式]

④一向量组线性无关的充分必要条件为它的秩与所含向量个数相同

证明线性相关/线性无关性

①定义②反证法

最重要的性质——不管从向量还是矩阵的角度，都有：

秩小于n，线性相关；秩=n，线性无关

向量的秩

定义：向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩

性质：①等价向量组必有相同的秩（补充题4）

②如果向量组Ⅰ可以经向量组Ⅱ线性表出，那么Ⅰ的秩不超过Ⅱ的秩（习题12）

③向量组[公式]、[公式]、[公式]的秩分别为[公式]、[公式]、[公式]，则[公式]（补充题6）

矩阵的秩

1.定义：矩阵中最高阶非零子式的阶数，零矩阵的秩为0

k阶子式：在矩阵A中任意选定k行和k列，位于这些选定的行和列的交点上的[公式]个元素

*eg.A的3阶子式[公式]选1，2，3行和1，2，4列，相应的3阶子式为[公式]

2.性质：①矩阵的秩=矩阵的行秩=矩阵的列秩

②若A有一个k阶子式不为0[公式]，[公式]（矩阵秩的定义是最高阶非零子式，拿定义中的eg.为例，A的三阶子式不为零，那么它的秩至少为3）

③若A所有的s阶子式都为0[公式]

④[公式]不可逆[公式]A的行向量（列向量）线性相关[公式]

[公式]

*[公式]意味着[公式]有无限多解，[公式]有无限多解或者无解

（矩阵的秩是最高阶非零子式，如果[公式]，那么最高阶非零子式也就是矩阵的行列式一定为零）

⑤[公式]可逆[公式]A的行向量（列向量）线性无关[公式]

*[公式]意味着[公式]有且只有唯一零解，[公式]有唯一解

3.秩不等式：①[公式]（Frobenius不等式）

*右边的不等式说明矩阵的秩越乘越小

②A,B为n*n矩阵.如果[公式]，那么[公式]

*②为①式Frobenius不等式[公式]时的特例

③分块矩阵[公式]的秩[公式]（分别大于各小分块矩阵的秩）

④分块矩阵[公式]的秩[公式]

⑤分块矩阵[公式]的秩[公式]

线性方程组解的结构与判定

齐次线性方程组解的结构

[公式]有非零解[公式]

当[公式]有非零解时，[公式]为[公式]的解

若(1)[公式]线性无关

(2)[公式]的任意解都可以表示成[公式]的线性组合

[公式]为[公式]的基础解系

*从线性空间的角度看，这个基础解系是一种特殊的基（就理解为基），把线性空间局限到只研究解空间，此时基就退化为基础解系（注意基础解系的两个条件，线性无关，线性表示）

非齐次线性方程组解的结构

对于文中开头的非齐次线性方程组[公式]([公式]表示方程组的系数, [公式]表示方程组的未知量, [公式]表示常数项)，令 [公式], [公式]

[公式]有解[公式][公式]可由[公式]线性表示

[公式][公式]有唯一解[公式][公式]可由[公式]线性表示且表法唯一

[公式][公式]可由[公式]线性表示且[公式]线性无关

*[公式]有唯一解当且仅当A可逆，可以理解为A可逆是前提条件，此时[公式]

[公式][公式]有无限多解[公式][公式]线性相关

若[公式]有解，令[公式]为[公式]中任意解，[公式]，其中，[公式]为[公式]的特解，[公式]为通解（基础解系的线性组合）

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文章来源：天狐定制

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