本笔记详细梳理了概率论的基本概念，深入浅出地介绍了一系列核心理论。以下是对课程内容的概要：

1. 概率论基础

样本空间：试验所有可能结果的集合，用符号 [公式] 表示。

维恩图：用于展示事件之间逻辑关系的可视化工具。

德摩根律：并的补等于补的交，[公式]；交的补等于补的并，[公式]。

概率定义：通过观察多次试验中某个事件出现的频率来逼近一个固定值，公式为 [公式]，要求 [公式] 有极限。

概率论三公理：涵盖了概率的度量、加法和乘法规则。

2. 条件概率与独立性

条件概率：给定 [公式] 的情况下 [公式] 的概率，记为 [公式]。

贝叶斯公式：[公式]，其中 [公式] 是先验概率，[公式] 是后验概率。

独立事件：若 [公式]，则称 [formula] 与 [formula] 独立。

独立重复试验：多次独立且具有相同概率的子试验集合。

3. 随机变量

随机变量：样本空间上映射到实数的函数，离散型随机变量有有限可能值。

概率分布列：表示随机变量取值及其概率的表格。

数学期望与方差：离散型随机变量的平均值与波动度量，如 [公式] 和 [公式]。

4. 连续型随机变量

连续型随机变量：如正态分布，其概率密度函数为 [公式]。

无记忆性：如指数随机变量，满足 [公式]。

5. 联合分布与条件分布

联合分布：两个随机变量 [formula] 的联合分布函数，涉及边缘分布和概率联合分布列。

条件分布：根据一个或多个已知事件，随机变量在特定条件下的分布。

6. 期望的性质

协方差：测量随机变量 [formula] 的关联程度。

条件期望与方差：给定条件下的随机变量期望和方差。

7. 极限定理

车比雪夫不等式，弱大数定律，中心极限定理，以及强大数定律，描述了随机变量的极限行为。

8. 收敛性

概率与分布收敛概念，以及几乎处处收敛，描述随机变量序列的收敛特性。

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文章来源：天狐定制

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