sin(48度)~0.7431，下面用5种不同的方法逼近，可以看到，精度从95%提高到99.9998%。

第4种方法实质上是微积分的一阶展开，第5种方法实质上是微积分的二阶展开，都有深层次的高等数学背景。

（1）最近点法，48度离45度很近，所以sin(48度)~sin(45度)=根号2/2=0.7071（误差5%）。

（2） 线性插值法，48度在45度和60度之间，所以可以用sin(45度)和sin(60度)来线性插值（具体思想就是，在区间[45度，60度]里，用一条直线来逼近曲线sin(x)）。

因为48度=0.8*45度+0.2*60度，所以 sin(48度)~0.8*sin(45度)+0.2*sin(60度)=0.7389（误差0.6%）。

（3）更精确的线性插值法，我们来求sin(54度)，这样能比用sin(60度)的插值更精确些。

sin(54度)=cos(36度)，设alpha=36度，则3*alpha=180度-2*alpha，即

cos(3*alpha)=-cos(2*alpha)，由三角函数公式，

cos(3*alpha)=4*cos(alpha)^3-3*cos(alpha)，

cos(2*alpha)=2*cos(alpha)^2-1，

联立后，用x代替cos(alpha)，得一元三次方程，

4x^3+2x^2-3x-1=0，可分解(x+1)(4x^2-2x-1)=0。

得x=0.25*(1+根号5)，另外两个根不在[0，1]区间内，实际上分别是cos180度和cos108度。

所以，sin(54度)=cos(36度)=0.25*(1+根号5)。

48度=2/3*45度+1/3*54度，所以sin(48度)~2/3*sin(45度)+1/3*sin(54度)=0.7411（误差0.3%）。

（4）小角估计法，因为48度=45度+3度。所以sin(48度)=sin(45度)cos(3度)+cos(45度)sin(3度)。3度是个小角，对于小角度sin(x)~x，这里x以弧度（Rad）计。

sin(3度)~3度=pi/180*3。 （pi是圆周率）

cos(3度)~1。

sin(48度)~根号2/2*(pi/180*3+1)=0.7441（误差0.1%）。

（5）更精确的小角估计法，因为48度=45度+3度。所以sin(48度)=sin(45度)cos(3度)+cos(45度)sin(3度)。3度是个小角，对于小角度sin(x)~x，这里x以弧度（Rad）计。

sin(3度)~3度=pi/180*3。 （pi是圆周率）

cos(3度)=cos(2*1.5度)=1-2*sin(1.5度)*sin(1.5度)~1-2*(pi/180*1.5)^2。

代入得，sin(48度)~根号2/2*(pi/180*3+1-2*(pi/180*1.5)^2)=0.7432（误差0.02%）。

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文章来源：天狐定制

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