我们需要找出所有比 $0.2$ 大比 $0.3$ 小的分数，其中分子和分母都是正整数且分子小于分母。

首先可以通过化简不等式 $0.2<\frac{a}{b}<0.3$ 得到 $2a<b<3a$，其中 $a$ 和 $b$ 都是正整数。因此，我们可以枚举 $a$ 的值，然后计算出符合条件的 $b$ 的数量。

具体来说，假设 $a$ 的取值范围为 $1\leq a\leq 6$，则符合条件的 $b$ 的取值范围为 $2a<b<3a$，可以得到：

- 当 $a=1$ 时，$2<a<3$，符合条件的 $b$ 的数量为 $0$。

- 当 $a=2$ 时，$4<b<6$，符合条件的 $b$ 的数量为 $1$。

- 当 $a=3$ 时，$6<b<9$，符合条件的 $b$ 的数量为 $2$。

- 当 $a=4$ 时，$8<b<12$，符合条件的 $b$ 的数量为 $3$。

- 当 $a=5$ 时，$10<b<15$，符合条件的 $b$ 的数量为 $4$。

- 当 $a=6$ 时，$12<b<18$，符合条件的 $b$ 的数量为 $5$。

因此，符合条件的分数共有 $0+1+2+3+4+5=15$ 个。其中，每个分数可以化简为最简分数，即分子与分母互质的形式。因此，写成六个这样的分数时，可能会有重复的情况。如果不考虑重复的话，可以列出所有符合条件的最简分数，如下所示：

$$\frac{3}{14}, \frac{4}{19}, \frac{1}{5}, \frac{5}{24}, \frac{2}{9}, \frac{5}{23}$$

如果允许重复，则可以将其中的一些分数重复使用。由于需要写成六个分数，因此一种可能的方案是将其中的某些分数重复使用两次。假设我们将 $\frac{3}{14}$ 和 $\frac{4}{19}$ 重复使用两次，则可以得到以下六个分数：

$$\frac{3}{14}, \frac{3}{14}, \frac{4}{19}, \frac{4}{19}, \frac{1}{5}, \frac{5}{24}$$

或者将 $\frac{1}{5}$ 重复使用两次和 $\frac{5}{23}$ 重复使用两次，得到以下六个分数：

$$\frac{1}{5}, \frac{1}{5}, \frac{5}{23}, \frac{5}{23}, \frac{2}{9}, \frac{2}{9}$$

因此，根据不同的重复方案，可以得到不同的六个分数，但总数应该是相同的。

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文章来源：天狐定制

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