在等腰△ABC 中，AB=AC=8，∠BAC=120° ，P为BC的中点。小惠拿着含30°角的透明三角板，使 角的顶点落在点P，三角板绕点P旋转。

（1）如图10(1)，当三角板的两边分别交AB，AC于点E，F时，求证：△BPE∽△CFP

（2）操作：将三角板绕点P旋转到图10(2)情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E，F。

1)探究1、△BPE 与 △CFP 还相似吗？（只要写出结论）

2)探究2、连接EF， △BPE 与△PFE 是否相似？试说明理由。

3)设EF=m， △EPF的面积为S，试用含m的代数式表示S。

（1）

由AB=AC，∠BAC=120°

得∠B=∠C=1/2(180°-120°)=30°

由∠B+∠EPB+∠BEP=180°、∠EPF+∠EPB+∠CPF=180°且∠EPF=30°=∠B

得∠BEP=∠CPF

∴△BEP∽△CPF

∴PF/PE=CP/BE

又∵P为BC中点，即CP=BP

∴PF/PE=BP/BE

即PF/BP=PE/BE

在△BPE和△PFE中，∠EPF=∠B，PF/BP=PE/BE

∴△BEP∽△PEF

（2）由（1）知△PFE∽△CPF

得EF/PF=PE/PC

即PE*PF=EF*PC

S=1/2*PE*PF*sin30°=1/4*PE*PF=EF*PC/4

EF=M,PC=AC*根号3/2=4*根号3

所以S=根号3*M

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文章来源：天狐定制

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