解：（1）点A在线段OB的中垂线上，则A点横坐标为2，tg∠AOB=2,则A点纵坐标为4，A点坐标为（2，4）。

将A点坐标代入双曲线方程，解得K=8，双曲线方程为y=8/x。

（2）抛物线y=(x+m)2+n的顶点坐标为（-m，n），直线OA的方程为y=2x，点M在OA上，则n=-2m。直线PA过垂直于X轴且与抛物线交于点P则，P点坐标为（2，(m+2)2+n），则PC=(m+2)2+n）。△OBP的面积S=OB*PC/2=4*(m+2)2+n）/2=2（m2+2m+4）=2(m+1)2+6，显然点M坐标为（-1，2）时，S△OBP的最小值为6。

（3）假设△AMP∽△AMC则有AP/AM=AM/AC，即AM2=AP*AC①。AM=AO-MO，AO=2 ，

MO=m （由M点的坐标计算得到）,AM=(2-m) 。AC=4，AP=AC-PC=4-（(m+2)2-2m））=-m2-2m。将AM、AP及AP代入①中，得9m2-12m+20=0，此方程无解，故不存在这样的点。

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