解：（1）求抛物线解析式有两种思路：

思路一：把已知的三点坐标代入解析式，求出a b c 即可;

思路二：把抛物线解析式设为 y = a [ x --( 2+√5 )] [ x --( 2--√5 )]

再把 （ 0，--1 ）代入求出a即可。

求得的抛物线解析式为： y = x² --4x --1

y = ( x -- 2 )² -- 5 ( 其对称轴为 x = 2 )

(2) 以AB为直径的圆M经过点 C 。理由：

∵ A、 B 关于x 轴对称

∴ 以 AB 为直径的圆的圆心M 在对称轴上

∴ M 坐标为 （ 2 ，0 ）

∵ 圆M的直径AB = （ 2 + √5 ）--（ 2 -- √5 ）

= 2√5

∴圆M的半径为 √5 --------- （1）

在Rt△MOC 中，由勾股定理得：

MC² = MO² + OC²

= 2² + 1²

= 5

∴ MC = √5 -------------- （2）

由 （1）（2） 知 以AB为直径的圆M经过点 C 。

（3）存在以线段EF为直径的圆N恰好与X轴相切,

圆N的半径为 （ √21 + 1 ）/ 2 或 （ √21 -- 1 ）/ 2 .

理由：

设圆N半径为 r ， 圆N 与x 轴相切，分两种情形：

情形1： 当切与x轴上方时

直线EF 可表示为 y = r （ 该直线平行于x轴，且与x轴距离为 r ）

∵ EF是直径

∴ EF = 2r

解方程组 y = x² -- 4x --1 与 y = r 得

x² -- 4x -- (1 + r ) = 0 它的两根分别为 E和 F的横坐标。

∵ EF = 2r

∴ 两根之差 x2-- x1 = 2r

∴（ x2 -- x1 ）² = （ 2r ）²

∴（ x2 + x1 ）² -- 4x1 x2 = 4r²

∴ 4 ² -- 4 × [ -- ( 1 + r ) ] = 4r²

∴ r² -- r -- 5 =0

∴ r = （ 1 + √21 ）/ 2 （负值已舍）

情形2：当切于x轴下方时

设直线EF为 y = -- r ( r ＞0 )

由 x² -- 4x -- 1 = --r 及 （ x2 -- x1 ）² = （ 2r ）² 得

r² + r --5 = 0

r = （ √21 -- 1 ）/ 2 ( 负值已舍)

总结： 1、 熟练掌握在不同情形下 恰当 设抛物线解析式；

2、 注意分类讨论，全面考虑问题；

3、平时解题，注意严格提高"快速形成思路" 和 " 快速形成卷面" 的能力。

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文章来源：天狐定制

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