三角函数的基本定理及其公式如下：

1. 三角函数的定义：

将角度θ作为自变量，在直角坐标系中以半径为1的圆（单位圆）为基础，通过固定角度的一边与X轴重合，顶点位于圆心，另一边作为射线与单位圆相交于一点。该点的坐标(x, y)定义了三角函数：

sin(θ) = y

cos(θ) = x

tan(θ) = y/x

2. 两角和公式：

sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB

sin(A - B) = sinAcosB - cosAsinB

cos(A + B) = cosAcosB - sinAsinB

cos(A - B) = cosAcosB + sinAsinB

tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)

tan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanAtanB)

cot(A + B) = (cotA cotB - 1) / (cotB + cotA)

cot(A - B) = (cotA cotB + 1) / (cotB - cotA)

3. 倍角公式：

tan2A = 2tanA / (1 - tan²A)

sin2A = 2sinAcosA

cos2A = cos²A - sin²A = 2cos²A - 1 = 1 - 2sin²A

4. 三倍角公式：

sin3A = 3sinA - 4sin³A

cos3A = 4cos³A - 3cosA

tan3A = tanA * tan(π/3 + A) * tan(π/3 - A)

5. 半角公式：

sin(A/2) = √[(1 - cosA) / 2]

cos(A/2) = √[(1 + cosA) / 2]

tan(A/2) = √[(1 - cosA) / (1 + cosA)]

cot(A/2) = √[(1 + cosA) / (1 - cosA)]

6. 和差化积公式：

sin(a) + sin(b) = 2sin[(a + b)/2]cos[(a - b)/2]

sin(a) - sin(b) = 2cos[(a + b)/2]sin[(a - b)/2]

cos(a) + cos(b) = 2cos[(a + b)/2]cos[(a - b)/2]

cos(a) - cos(b) = -2sin[(a + b)/2]sin[(a - b)/2]

tanA + tanB = sin(A + B) / cosAcosB

7. 积化和差公式：

sin(a)sin(b) = -1/2[cos(a + b) - cos(a - b)]

cos(a)cos(b) = 1/2[cos(a + b) + cos(a - b)]

sin(a)cos(b) = 1/2[sin(a + b) + sin(a - b)]

cos(a)sin(b) = 1/2[sin(a + b) - sin(a - b)]

8. 诱导公式：

sin(-a) = -sin(a)

cos(-a) = cos(a)

sin(π/2 - a) = cos(a)

cos(π/2 - a) = sin(a)

sin(π/2 + a) = cos(a)

cos(π/2 + a) = -sin(a)

sin(π - a) = sin(a)

cos(π - a) = -cos(a)

sin(π + a) = -sin(a)

cos(π + a) = -cos(a)

三角函数在几何、物理、工程等领域中扮演着关键角色，例如在解决三角形问题、描述物理运动、分析工程设计等方面。

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文章来源：天狐定制

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