势函数与流函数的关系式（2.122）与复变函数理论中的Cauchy－Riemann关系一致。根据复变函数理论，两个调和函数可以构成一个解析的复变函数。因此，可以引入一个复势函数来描述流场

地下水运动方程

一个解析的复势函数W（z）代表一个确定的平面稳定流场，其实部为势函数，虚部为流函数。任意两个或两个以上复势函数的线性组合表示若干流场的叠加结果。

渗流速度与复势函数的关系为

地下水运动方程

这一导数dW/dz被称为复速度。其共轭函数为

地下水运动方程

称为共轭复速度。因此，渗流速度构成的复数为

地下水运动方程

下面给出几种简单平面流动的复势函数表示方法（Bear，1972；孔祥言，1999）：

（1）平行均匀流

取复势函数为

地下水运动方程

式中：v₀是一个任意的实数。容易得到

地下水运动方程

这说明渗流方向只沿着x方向，且流速为v₀。流函数为ψ＝－v₀y，说明流线是平行于x轴的直线，而势函数为＝－v₀x，是平行于y轴的直线。

（2）无限大平面点源流场

取复势函数为

地下水运动方程

它描述的是一个位于z₀＝x₀＋iy₀、强度为q的点源所产生的流场。q＞0为源；q＜0为汇。令

地下水运动方程

式中：r为离开点源的距离；θ为起自点源的径向矢量与x轴的夹角。于是有

地下水运动方程

这说明势函数和流函数分别为

地下水运动方程

根据等势线的方程式（2.124）有

地下水运动方程

说明值为C_h的等势线是一个围绕点源的圆。渗流速度可表示为

地下水运动方程

这个复势函数只是提供了点源周围流场的描述方法，并不意味着这种稳定流场一定能够形成。

（3）绕角流场

取复势函数为

地下水运动方程

式中：n为大于零的常数；a为反映流速大小的常数。它描述的是绕过角度为π/n的一个拐角（原点）的流场，流速与a成正比。其势函数和流函数分别为

地下水运动方程

渗流速度为

地下水运动方程

流速的绝对值为

地下水运动方程

可见：当n＞1时，角点的流速为零；当n＜1时，角点的流速为无穷大。

（4）等流量抽水井和注水井流场

把抽水井作为点汇、注水井作为点源，则等流量的一口抽水井和一口注水井形成的流场（图2.8a）可表示为单个点源流场的叠加，复势函数为

地下水运动方程

式中：z₁和z₂分别为点源和点汇的位置。如果把复平面的原点移到注水井和抽水井之间，则

地下水运动方程

即点源和点汇之间的距离为2d。于是有

地下水运动方程

其中

图2.8 含点源流场的流网图

地下水运动方程

因此势函数和流函数分别为

地下水运动方程

根据式（2.124），等势线的方程为

地下水运动方程

并能够转化为

地下水运动方程

这是一系列圆心在x轴的圆。根据式（2.125），流线的方程为

地下水运动方程

并能够转化为

地下水运动方程

这是一系列圆心在y轴的圆。渗流速度为

地下水运动方程

流速的绝对值为

地下水运动方程

在点源和点汇的连线上，地下水的流动速率最大。

（5）平行均匀流中的点源流场

设无限大平面点源位于坐标原点，叠加一个平行均匀流（图2.8b）。两个复势函数叠加，得到

地下水运动方程

其渗流速度为

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在x轴上，有

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存在一个特殊的点（x_r，0），同时使v_x＝0、v_y＝0，这个点称为驻点，有

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