等边三角形的中点有如下性质：

1. 三角形ABC的垂心H和中心O以及AB、BC、CA的中点分别共线，且OH是这条线段的重心线。

2. 等边三角形的中心点和重心点、垂心点都重合于同一点（三角形内心也在该点上）。

对于一个边长为根号三的等边三角形ABC，如果P是中心，则AP的长度可以通过以下方式计算：

首先，由于三角形ABC是等边三角形，因此每个角的大小都是60度。又因为AP是OC的一半，所以我们可以通过求解三角形AOC的边长来计算出OC的长度，然后将其除以2就得到了AP的长度。

由于三角形AOC是一个30-60-90三角形，因此它的边长比例为1:√3:2。由于OC的长度等于三角形ABC中心到顶点C的距离，因此OC的长度为：

OC = （√3 / 3）× AC

又因为AC的长度等于等边三角形ABC的边长，即AC = √3，因此有

OC = (√3 / 3) × √3 = 1

所以AP的长度为：

AP = OC / 2 = 1 / 2

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