一、三角形的外心定义

三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点，同时也是三角形外接圆的圆心。

性质：

1. 三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心。

2. 每个三角形只有一个外接圆，因此对于给定的三角形，其外心是唯一的。然而，一个圆可以内含无数个三角形，这些三角形的外心重合。

3. 在锐角三角形中，外心位于三角形内部；在钝角三角形中，外心位于三角形外部；在直角三角形中，外心与斜边的中点重合。

4. 外心到三角形三个顶点的距离相等，记为OA=OB=OC=R。

5. ∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA。

6. 三角形的面积S可以表示为S△ABC=abc/4R。

二、三角形的内心定义

三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点，也是内切圆的圆心。

性质：

1. 三角形的三条内角平分线交于一点，该点即为三角形的内心。

2. 内心到三角形三边的距离相等，都等于内切圆的半径r。

3. r的值可以通过公式r=2S/(a+b+c)计算得出，其中S是三角形的面积，a、b、c分别是三角形的三边长。

4. 在直角三角形ABC中，若∠C=90°，则内切圆半径r=(a+b-c)/2。

5. ∠BOC=90°+∠A/2，∠BOA=90°+∠C/2，∠AOC=90°+∠B/2。

6. 三角形的面积S可以表示为S△=[(a+b+c)r]/2，其中r是内切圆的半径。

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文章来源：天狐定制

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