若事件A1，A2，…构成一个完备事件组且都有正概率，则对任意一个事件B，有如下公式成立：

P(B)=P(BA1)+P(BA2)+...+P(BAn)=P(B|A1)P(A1) + P(B|A2)P(A2) + ... + P(B|An)P(An).

此公式即为全概率公式。

一个别人举的例子：

一个村子与三个小偷，小偷偷村子的事件两两互斥，求村子被偷的概率。

解释：假设这三个小偷编号为A1,A2,A3;

偷东西的事件标记为B,不偷的话标记为：B^

那么被偷的概率就是：要么是A1，要么是A2，要么是A3，

如果是A1, 概率是什么呢？首先得是A1,其次是村子被偷，也即是两个事件都满足，所以是P(A1B)

同理，可以得到P(A2B),P(A3B)

又因这三个小偷两两互斥，表示不会同时去偷。所以被偷的概率是：

P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)

当然按照条件概率或者乘法公式展开：

P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3) （*）

PS: P(Ai),P(B|Ai)是已知的

问：是不是有想展开为：

P(B)=P(B)P(A1|B)+P(B)P(A1|B)+P(B)P(A1|B)的冲动？

当然这个式子是没错的，但是体现不了这个问题的解法：分阶段。

（*）式子体现的是问题分为两个阶段：

1）选人，分割问题

2）计算分割的子问题的条件概率

对应的这里来便是：

1）选小偷，谁去偷

2）选定的小偷作为条件，那么他去偷的条件概率是什么

所以将问题拆解为阶段的问题便是全概率公式针对的问题。

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文章来源：天狐定制

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