地下水系统模拟与管理问题就是在充分掌握和预知地下水系统的空间结构、埋藏条件以及各种影响和控制其行为规律的自然和人为因素的前提下，进而对其进行科学的、定量的模拟与预测、管理和调控，使其向着人们所期望的目标发展和演化。地下水系统的行为规律又取决于与其关联的外部环境和系统内部参数的时、空变化规律。在地下水资源开采过程中，这些外部环境和内部参数都会发生变化，所以需要进行动态规划与管理。

狭义的动态是指时间过程，如地下水的水位、水量、水质随时间的变化等。故动态规划就是指在地下水开采的过程中，依次采取一系列的决策，以实现整个过程的最优化问题。而对于时间过程不明显或没有时间过程的所谓静态问题，如水资源分配、投资分配、最优线路等，在一定条件下，只要依据时间特点，把过程分为若干阶段，在静态模型中人为地引进时间因素，当作多阶段决策过程来考虑，同样可用动态规划的原理来研究。所以，动态规划实质上是将一个较复杂的过程最优化决策问题，转化为多阶段的一系列简单静态问题来求解^［117］。

近年来，我国许多学者研究了动态规划在水资源系统中的优化问题。方乐润等^［118］建立了地下水资源系统的动态规划模型，并应用于内蒙古余粮堡灌域地下水的多年调节计算；李树文等^［119］借助动态规划理论，分析了地表水与地下水统筹管理的多阶段决策问题，考虑到水资源系统的动态属性和系统属性，在建立水资源管理模型时，兼顾了地表水和地下水两类资源，同时分析了它们的多阶段开发问题，增强了模型的应用效果；唐德善^［120］应用大系统分解协调法建立地区水资源优化分配数学模型，以递阶动态规划法阐明了求解地区水资源优化分配数学模型的思路，并以实例说明了模型的求解过程；王柏明、向速林等^{［121，122］}以动态规划理论为依据，介绍了动态规划在水资源优化配置中的应用实例。

在此以潜水含水层中两单元稳定抽水量的最优分配问题为例，探讨动态规划在地下水管理中的应用。

假设有一矩形均质潜水含水层，三面为隔水边界，一面傍河，河水可视为定水头边界（图4.1）。地下水接受大气降水补给，向河流排泄，已知含水层的长2L、宽B分别为20000m和10000m，导水系数为3.6×10⁶m²/a，降水入渗系数为0.36m/a。含水层分为两个单元，单元1、2的单位流量抽水费用分别为0.2元/m³/a和0.1元/m³/a。现规划要求对单元1和单元2的稳定抽水流量Q₁、Q₂进行最优分配，使其在满足总需水量45×10⁶m³/a和两单元的稳定水位分别不低于允许最低水位2.5m和5.0m的条件下，总抽水费用最小。

图4.1 矩形潜水含水层

4.1.4.1 线性规划管理模型

应用嵌入法构建的管理模型为：

目标函数：minZ=0.1Q₁+0.2Q₂（4.1）

约束条件：

含有协变量的地下水动态规划管理模型研究

本例应用Lingo软件求解，经过6次迭代，得到最优解计算结果（表4.1）。

表4.1 嵌入法的计算结果

4.1.4.2 动态规划求解

本例采用动态规划顺序递推法求解。分两个阶段，即k=1，2。决策变量为Q₁和Q₂，状态变量u₁，u₂，u₃分别表示从第1阶段到第2阶段中第一约束至第三约束可供分配的右端数值。应用状态转移方程法把水位约束用水量约束表示出来。并取水量单位为10⁶m³/a，费用单位为10⁶元/a。则模型如下：

目标函数：

约束条件：

含有协变量的地下水动态规划管理模型研究

此管理模型的求解过程如下：

（1）当k=1时，有：

含有协变量的地下水动态规划管理模型研究

相应地有Q₁=u₃-Q₂，因为u₃=45，故Q₁=45-Q₂。

（2）求出Q₂的取值范围。由Q₁=45-Q₂和其他约束条件一起求出Q₂的取值范围是0≤Q₂≤36.5。

（3）当k=2时，由最优化原则，有：

含有协变量的地下水动态规划管理模型研究

相应地有Q₂=0m³/a，则Q₁=45-Q₂=45×10⁶m³/a，总抽水费用最小值为4.5×10⁶元/a。

由规划结果可以看出，线性规划与动态规划计算结果一致。这说明动态规划法对于解决多阶段决策过程最优化问题，是比较有效的，其关键在于如何恰当地确定多阶段问题的动态规划数学模型和递推方程^［121］。

4.1.4.3 动态规划的不足之处及改进方法

动态规划对于研究地下水资源最优分配问题，特别是对缺水地区的水资源进行规划利用和管理，使有限的地下水资源获得合理的经济效益，具有重要的意义。应当指出：尽管动态规划法适用于求解各种各样的多阶段决策问题，但是并非所有的此类问题都能用动态规划法求得最优解。由于动态规划法本身固有的一些弱点，限制了它在地下水管理中的一些应用。

动态规划的不足之处主要有以下两点：首先，到目前为止没有一个统一的标准模型可供应用，由于实际问题不同，其动态规划模型也就有异；其次，该方法存在多状态决策的“维数灾”问题，极大地限制了动态规划的应用。实践表明，当状态变量个数多于四时，一般动态规划方法求解的计算工作量大得惊人，即使应用现代高速大容量电子计算机也难于胜任^［123］。因为随着状态变量数目（维数）的增加，每个阶段需要检验的状态组合数和计算工作量将按指数规律急剧增加。近年来针对一般动态规划的维数灾问题，不少学者做了大量的研究工作，提出了以下改进方法：

（1）逐次优化算法（Progressive Optimality Algorithm，POA）：Howson和Saneho于1975年提出POA，用来解决凸性约束条件下多阶段决策问题^［124］。该方法的优点是不需要对状态变量进行离散化，能够得到全局最优解，但是需要大量计算时间。多用于水库优化调度、水库群防洪调度、梯级电站经济运行等问题。

（2）双状态动态规划算法（Binary State Dynamic Programming，BSDP）：Ozden M于1984年提出BSDP，用来解决四个水库优化调度问题^［125］。该方法的显著特点在于构造状态子空间的一些特殊规则，是解决动态规划“维数灾”问题的一种有效方法。国内学者对BSDP做了多方面的深入研究^［126］，如迭代收敛条件，避免陷入局部最优解的算法，库群步长选取等。

（3）微分动态规划方法（Differential Dynamic Programming，DDP）：DDP能解决多维动态规划最优管理问题。该方法逐次向预定目标逼近，与常规动态规划法相比，大大减少了计算工作量和计算机的存贮量。不足之处在于程序设计较为复杂。在求解水资源（包括地下水和地表水库）动态规划管理模型中，目前用得较普遍的方法是微分动态规划。

除上述改进方法外，还有增量动态规划法、状态增量动态规划法、单增量搜索解法、有后效性动态规划逐次逼近法、线性-动态规划算法、随机动态规划、模糊动态规划法等，在此不再详述。

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文章来源：天狐定制

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